主席树 求区间第k大数（可修改）

给出一个数列，以及多次操作，操作可以是修改某一个数值，也可以是询问某一段区间的第K大数。

思路：我们先考虑不带修改的区间第K大数，该如何用主席树求解。我们对于原序列进行离散化以及排序。线段树的节点所表示的区间【l，r】为排名在这个区间的个数有多少个。

我们对于整个序列的所有前缀都建立一棵线段树，这里为了节省空间，这所有前缀的线段树将公用一些节点。每一棵前缀线段树都能表示前缀序列在相应的排名区间所含数字的个数。这样我们询问原序列L到R的第K大值的时候，其实我们就是对表示前L-1的线段树和表示前R的线段树进行访问，通过他们在每一个排名区间中数字的个数，可以得到第K值的排名，即可以得到第K大数。

然后主席树的经典就是可以带修改的询问区间第K大数字，根据上述所说可以知道主席树就是建立若干个前缀线段树，这样可以让我们想到用树状数组来进行修改和求值，假设要修改第i个数字，就是相当于对T[i],T[i+1],T[i+2].....T[n]，（T[i]表示第i个前缀树），这样子我们就可以利用树状数组的特性来进行相应的修改，只不过这里修改的是线段树，而不是原来单纯的点，想想就很刺激高端。细节可以看看代码。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 60006

int a[N],b[N],R[N],T[N],n,tot;
int Ro[N],Lo[N],rn;

struct Q
{
       char o;
       int i,j,k;
}q[N/6];

struct Tr
{
       int ls,rs,c;
}tr[N*40];

int build(int l,int r)
{
    int mid = l+r>>1,root = tot++;
    tr[root].c = 0;
    if (l < r)
    {
          tr[root].ls = build(l,mid);
          tr[root].rs = build(mid+1,r);
    }
    return root;
}

void init(int r)
{
     tot = 0;
     memset(R,sizeof(R));
     T[0] = build(1,r);
}

int lb(int k) {return k&(-k);}

int update(int l,int r,int val,int root,int ad)
{
    int nr = tot++,mid = l+r>>1;
    tr[nr].c = tr[root].c+ad;
    if (l == r) return nr;
    if (val <= mid)
    {
       tr[nr].ls = update(l,mid,val,tr[root].ls,ad);
       tr[nr].rs = tr[root].rs;
    }
    else
    {
        tr[nr].rs = update(mid+1,r,tr[root].rs,ad);
        tr[nr].ls = tr[root].ls;
    }
    return nr;
}

void add(int i,int k,int ad)
{
    int v = lower_bound(b+1,b+r+1,k)-b;
    while (i <= rn)
    {
          R[i] = update(1,v,R[i],ad);
          i += lb(i);
    }
}

void go(int root[],int d)
{
     int i;
     for (i = 1;i <= root[0];i++)
         root[i] = d?tr[root[i]].rs:tr[root[i]].ls;
}

int query(int l,int Rroot,int Lroot)
{
    if (l == r) return l;
    int i,Rls = 0,Lls = 0,mid = l+r>>1;
    int sum = tr[tr[Rroot].ls].c-tr[tr[Lroot].ls].c;
    for (i = 1;i <= Ro[0];i++) Rls += tr[tr[Ro[i]].ls].c;
    for (i = 1;i <= Lo[0];i++) Lls += tr[tr[Lo[i]].ls].c;
    if (k <= Rls-Lls+sum)
    {
       go(Ro,0),go(Lo,0);
       return query(l,k,tr[Rroot].ls,tr[Lroot].ls);
    }
    else
    {
        go(Ro,1),1);
        return query(mid+1,k+Lls-Rls-sum,tr[Rroot].rs,tr[Lroot].rs);
    }
}

void cal(int i,int j,int r)
{
     Ro[0] = Lo[0] = 0;
     int ti = j;
     while (ti > 0)
     {
           Ro[++Ro[0]] = R[ti];
           ti -= lb(ti);
     }
     ti = i;
     while (ti > 0)
     {
           Lo[++Lo[0]] = R[ti];
           ti -= lb(ti);
     }
     printf("%dn",b[query(1,T[j],T[i])]);
}

int main()
{
    int ca,m,i,k;
    scanf("%d",&ca);
    while (ca--)
    {
          scanf("%d%d",&n,&m);
          rn = n;
          for (i = 1;i <= n;i++)
          {
              scanf("%d",&a[i]);
              b[i] = a[i];
          }
          for (i = 0;i < m;i++)
          {
              scanf(" %c",&q[i].o);
              if (q[i].o == 'Q') scanf("%d%d%d",&q[i].i,&q[i].j,&q[i].k);
              else scanf("%d%d",&q[i].j),b[++n] = q[i].j;
          }
          sort(b+1,b+1+n);
          int r = unique(b+1,b+1+n)-b-1;
          init(r);
          for (i = 1;i <= rn;i++) T[i] = update(1,lower_bound(b+1,b+1+r,a[i])-b,T[i-1],1);
          for (i = 0;i < m;i++)
          {
                if (q[i].o == 'Q') cal(q[i].i-1,q[i].j,q[i].k,r);
                else
                {
                    add(q[i].i,a[q[i].i],-1),add(q[i].i,1);
                    a[q[i].i] = q[i].j;
                }
          }
    }
}