scala是否在函数签名中忽略了类型？

我将参加优秀的Martin Odersky的FP课程讲座,其中一个讲座通过Newton的方法演示高阶函数,以找到某些函数的固定点.在讲座中有一个重要的步骤,我认为类型签名被违反,所以我会要求解释. (对于入境的长篇介绍道歉 – 它觉得有必要.)

实现这种算法的一种方法是这样的：

val tolerance = 0.0001

  def isCloseEnough(x: Double,y: Double) = abs((x - y) / x) / x < tolerance

  def fixedPoint(f: Double => Double)(firstGuess: Double) = {
    def iterate(guess: Double): Double = {
      val next = f(guess)
      if (isCloseEnough(guess,next)) next
      else iterate(next)
    }
    iterate(firstGuess)
  }

接下来,我们尝试通过fixedPoint函数计算平方根,但尝试通过

def sqrt(x: Double) = fixedPoint(y => x / y)(1)

因为这样的方法振荡(因此,对于sqrt(2),结果将无限期地在1.0和2.0之间交替).

为了解决这个问题,我们引入平均阻尼,因此基本上我们计算两个最接近的计算值的平均值并收敛到解

def sqrt(x: Double) = fixedPoint(y => (y + x / y) / 2)(1)

最后,我们介绍averageDamp函数,任务是使用fixedPoint和averageDamp写sqrt. averageDamp定义如下：

def averageDamp(f: Double => Double)(x: Double) = (x + f(x)) / 2

这是我不理解的部分 – 我最初的解决方案是：

def sqrt(x: Double) = fixedPoint(z => averageDamp(y => x / y)(z))(1)

教授.奥德斯基的解决方案更简洁：

def sqrt(x: Double) = fixedPoint(averageDamp(y => x / y))(1)

我的问题是 – 它为什么有效？根据函数签名,fixedPoint函数应该采用一个函数(Double => Double),但它不介意传递普通的Double(这是averageDamp返回的 – 事实上,如果你试图明确指定返回double to averageDamp的类型,编译器不会抛出错误).

我认为我的方法正确地遵循了类型 – 所以我在这里缺少什么？它指定或暗示(？)meanDamp返回一个函数,特别是在右边显然返回一个标量的情况下？如何将标量传递给仅明确需要函数的函数？你怎么推理似乎不尊重类型签名的代码？

def averageDamp(f: Double => Double)(x: Double): Double = (x + f(x)) / 2

def f(arg1)(arg2)(arg3)...(argN-1)(argN) = (argN) => f(arg1)(arg2)(arg3)...(argN-1)

val a = averageDamp(y => y/2)