scala – 什么是同构和同态

发布时间：2020-12-16 09:57:05 所属栏目：安全来源：网络整理

导读：我试图在编程环境中理解同构和同态,需要一些帮助. 在FPiS一书中,它解释了：让我们从同态开始： "foo".length + "bar".length == ("foo" + "bar").length 这里,length是一个从String到Int的函数,它保留了幺半群结构. 为什么这是一个同态？为什么它保留了幺

我试图在编程环境中理解同构和同态,需要一些帮助.

在FPiS一书中,它解释了：

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让我们从同态开始：

"foo".length + "bar".length == ("foo" + "bar").length

这里,length是一个从String到Int的函数,它保留了幺半群结构.

>为什么这是一个同态？
>为什么它保留了幺半群结构？
>例如列表上的映射函数是同态吗？

关于同构,我从一本书中得到了以下解释：

A monoid isomorphism between M and N has two homomorphisms
f and g,where both f andThen g and g andThen f are an identity function.
For example,the String and List[Char] monoids with concatenation are isomorphic.
The two Boolean monoids (false,||) and (true,&&) are also isomorphic,
via the ! (negation) function.

为什么(false,||),(true,&&)和String和List [Char] monoid连接是同构的？

解决方法

Why is that a homomorphisms?

根据定义.

Why it preserve the monoid structure?

因为上面的表达式中的==.

Is for example map on list function a homomorphisms?

是.将“foo”和“bar”替换为两个列表,将.length替换为.map(f).然后很容易看到(并证明)方程式成立.

Why (false,&&) and String and List[Char] monoids with concatenation are isomorphism?

根据定义.证明是微不足道的,留作练习. (提示：采用同构的定义,用具体对象替换所有抽象对象,证明结果数学表达式是正确的)

编辑：以下是您在评论中提到的几个定义：

>同态：将一组转换为另一组,在第二组中保留第一组元素之间的关系.形式上f：A→B,其中A和B都具有*运算,使得f(x * y)= f(x)* f(y).> Monoid：具有单个关联二元运算和标识元素的代数结构.形式上(M,*,id)是Monoid iff(a * b)* c == a *(b * c)&& a * id == a&& id * a == a for a a,b,c in M.

（编辑：李大同）

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