Java / Python / Mathematica中的重复序列

def a(n):
  if n == 0: return 1
  return 1 - 1 / float(a(n-1) + 3)

# limit is sqrt(3) - 1
limit = 3.0 ** 0.5 - 1.0

# get 9 digits' precision
i = 0
while abs(a(i) - limit) > 1.0e-9:
  i += 1

print i

这会发出8,表明可能无法保证诸如递归消除或记忆的优化.

当然,通常我们希望在数值上而不是在分析上获得限制,因此循环的正常方式会有所不同 – 并且最好封装在更高阶函数中……：

# get a function's limit numerically
def limit(f,eps=1.0e-11):
  previous_value = f(0)
  next_value = f(1)
  i = 2
  while abs(next_value - previous_value) > eps:
    previous_value = next_value
    next_value = f(i)
    i += 1
  return next_value

非平凡循环逻辑通常最好封装在生成器中：

def next_prev(f):
  previous_value = f(0)
  i = 1
  while True:
    next_value = f(i)
    yield next_value,previous_value
    i += 1
    previous_value = next_value

在这台发电机的帮助下,极限HOF变得更加简单：

def limit(f,eps=1.0e-11):
  for next_value,previous_value in next_prev(f):
    if abs(next_value - previous_value) < eps:
      return next_value

注意分离是多么有用：next_prev体现了“获取函数的下一个和前一个值”的概念,仅限于处理“循环何时终止”.

最后但并非最不重要的是,itertools通常提供了一个很好的生成器替代方案,让你以快速的方式封装挑剔的迭代逻辑(虽然它确实需要一些习惯…… ;-)：

import itertools

def next_prev(f):
  values = itertools.imap(f,itertools.count())
  prv,nxt = itertools.tee(values)
  nxt.next()
  return itertools.izip(prv,nxt)