大数运算

大数运算的实现方法主要有以下几种：

1)????????用字符串表示大数。将大数用十进制字符数组表示，然后按照“竖式计算”的思想进行计算。这种方法比较容易理解，但是计算效率很低。

2)????????将大数看成二进制流进行处理。使用各种位运算和逻辑操作来实现打算的运算。该方法设计复杂，可读性较差，而且难以调试。

3)????????将大数表示成一个n进制数组。n的取值越大，数组的大小越小，这样可以缩短运算的时间及空间复杂度，提高算法的效率。在32位系统中，n可以取2^32，这时每一位的取值范围是0~0xffffffff。

?

下面就针对第3）种方法进行描述。在RSA中涉及的大数通常都大于0，所以为了简化问题，假设运算过程中所有大数均都大于0的。

当n=2^32时，大数的每一位恰好是unsigned long?的范围，考虑到加法和乘法中进位时的溢出现象不好判断，可以选取long long型（gcc,?若是VC++则为__int64）。而且对于每个大数，包含一个变量标志其符号，一个变量来表示其长度，一个数组来存储每一位的值。于是，可以用下面结构体表示一个大数：

typedef struct LargeNumber

{

????bool tag;??????????????????????????//?标志大数的符号?true??正数??false?负数

????int length;?????????????????????????//?记录大数的长度

????long long bigInt[SIZE];??????????????//?记录大数各位的值

?

????LargeNumber( const bool& t=true,const int& len=0)

????{

????????tag = t;

????????length = len;

????????for( int i=0; i<SIZE; ++i )

????????{

????????????bigInt[i]= 0;

????????}

????}

};

?

(一)????大数加法

假设在加法中两个操作数都是大于0的。按照“竖式计算”的思想，首先将两操作数低位对齐，然后从最低位开始按“位”相加，当“位”相加的结果大于2^32-1时做进位处理（carry=1），否则不进位（carry=0）。

符号演示：op1=ABCD，?op2=EFG

A??B??C??D

+??E??F??G

-------------------

H??I??J??K???L

?

初始化carry=0

其中，若D+G+carry>0xffffffff?则L=D+G+carry-0xffffffff-1,carry=1

??????????????????????????????????????????否则L=D+G+carry，?carry=0

按照上述方法计算K,J,I,H

?

例如：0x1??0x1??0x1??+ 0xffffffff 0xffffffff;?初始carry=0

运算过程：

（1）0x1+0xffffffff+0>0xffffffff,?所以计算结果的最低位result.bigInt[0]=0x0,carry=1;

（2）0x1+0xffffffff+1>0xffffffff,所以result.bigInt[1]= 0x1+0xffffffff+1-0xffffffff-1=1,carry=1;

（3）0x1+1<0xffffffff,所以result.bigInt[2]=2;result.length=2;

?

最终结果为2??1??0

?

(二)????大数减法

为了简化计算，假设被减数总是不小于减数，这样计算的最终结果总是大于等于0。基本思路和大数加法基本一致，减法中可能需要借位，定义并初始借位变量borrow=0。显然，borrow要么等于0，要么等于1。

?

例如：0x1 0x1 0x1 – 0xffffffff??0xffffffff;?初始borrow=0;

计算过程：

???????(1) 0x1<0xfffffff+borrow,这时需要借位

result.bigInt[0]= 0xffffffff-(0xffffffff+0-0x1)+1=2,borrow=1;

???????(2)0x1<0xffffffff+borrow,于是

result.bigInt[1]= 0xffffffff-(0xffffffff+1-0x1)+1=1,borrow=1;

???????(3)0x1=0+borrow,于是result.bigInt[2]=0,borrow=0;

?

最终结果为：1??2

(三)????大数乘法

假设乘法的两个操作数均为正数。按照“竖式计算”的思想，大数的乘法可以借助大数的加法，用乘数的每一位乘以被乘数，然后将每一次的计算结果相加。在每位相乘的过程中依然存在进位现象，而且此时进位不只是1，还存在更大的数。

?

过程演示：

A???B

*???C???D

---------------

???????????E???F???G

??+??H??I???J

----------------------------

?K??M??N???O??P

?

其中?若B*D+carry>0xffffffff,

那么进位G=(B*D+carry)%0xffffffff，carry=(B*D+carry)/0xffffffff;

否则，G=B*D+carry,carry=0;

按照上述计算原则计算,F E J I H.并按照大数加法的计算方法计算P O N M K。

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例如：?0x1??0x1??0x1 * 0xffffffff??0xffffffff.

计算过程：

（1）0x1 0x1 0x1 * 0xffffffff =0xffffffff 0xffffffff 0xffffffff

（2）0x1 0x1 0x1 * 0xffffffff =0xffffffff 0xffffffff 0xffffffff,?由于这是乘数的第一位，所以结果“扩展一位”，变成0xffffffff 0xffffffff 0xffffffff 0x0

（3）计算0xffffffff 0xffffffff 0xffffffff + 0xffffffff 0xffffffff 0xffffffff 0x0

（4）结果为1 0 0xffffffff 0xfffffffe 0xffffffff

(四)????大数除法?
除法建立在乘法的基础上，循环搜索num?使得num*op1==op2.效率较低。

代码下载链接：http://shamohua.download.csdn.net/

里面还有字符串实现的代码。

原文

高精度加减乘除运算