poj1811(pollard-rho求一个大数(64位)的最小因子)

poj 1811 ?Prime Test

题意：给定一个64位整数，问是否为质数，如果不是，则输出其最小因子。
Pollard-rho分解的素数会有重复！

分析：


经典题！！


数学题


miller_rabbin素数判定。若不是，则pollard_rho分解质因子，找到最小即可。


Miller-rabin


Miller-rabin算法是一个用来快速判断一个正整数是否为素数的算法。它利用了费马小定理，即：如果p是质数，且a，p互质，那么a^(p-1) mod p恒等于1。也就是对于所有小于p的正整数a来说都应该复合a^(p-1) mod p恒等于1。那么根据逆否命题，对于一个p，我们只要举出一个a（a<p）不符合这个恒等式，则可判定p不是素数。Miller-rabin算法就是多次用不同的a来尝试p是否为素数。


但是每次尝试过程中还做了一个优化操作，以提高用少量的a检测出p不是素数的概率。这个优化叫做二次探测。它是根据一个定理：如果p是一个素数，那么对于x(0<x<p)，若x^2 mod p 等于1，则x=1或p-1。逆否命题：如果对于x(0<x<p)，若x^2 mod p 不等于1，则p不是素数。根据这个定理，我们要计算a^(p-1) mod p是否等于1时，可以这样计算，设p-1=(2^t) * k。我们从a^k开始，不断将其平方直到得到a^(p-1)，一旦发现某次平方后mod p等于1了，那么说明符合了二次探测定理的逆否命题使用条件，立即检查x是否等于1或p-1，如果不是则可直接判定p为合数。


?


pollard-rho


这是一个用来快速对整数进行质因数分解的算法，需要与Miller-rabin共同使用。求n的质因子的基本过程是，先判断n是否为素数，如果不是则按照一个伪随机数生成过程来生成随机数序列，对于每个生成的随机数判断与n是否互质，如果互质则尝试下一个随机数。如果不互质则将其公因子记作p，递归求解p和n/p的因子。如果n是素数则直接返回n为其素因子。


至于这个随机数序列是如何生成的暂时还不能理解，而且也是有多种不同的方式。这个序列生成过程中会产生循环，遇到循环则立即退出。

题意：给一个大数2^63，判断是否是素数，不是的话输出它的最小质因子；

思路：Miller-rabin 判素数 算法 和 pollard - rho ?分解数的算法的结合

找了一个代码模板，很不错;

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 1000000 + 10;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof x )
typedef long long ll;
#define eps 10e-10
const ll Mod = 1000000007;
typedef pair<ll,ll> P;

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <time.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define ll __int64

//****************************************************************
// Miller_Rabin 算法进行素数测试
//速度快，而且可以判断 <2^63的数
//****************************************************************
const int S=20;//随机算法判定次数，S越大，判错概率越小


//计算 (a*b)%c.   a,b都是long long的数，直接相乘可能溢出的
/*
ll Mult_mod (ll a,ll b,ll c)   //  a,b,c <2^63
{
    a%=c;
    b%=c;
    ll ret=0;
    while (b)
    {
        if (b&1) {ret+=a;ret%=c;}
        a<<=1;
        if (a>=c)a%=c;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}*/

ll Mult_mod (ll a,ll c)  //减法实现比取模速度快
{    //返回(a*b) mod c,a,c<2^63
	a%=c;
	b%=c;
	ll ret=0;
	while (b)
	{
		if (b&1)
		{
			ret+=a;
			if (ret>=c) ret-=c;
		}
		a<<=1;
		if (a>=c) a-=c;
		b>>=1;
	}
	return ret;
}

//计算  x^n %c
ll Pow_mod (ll x,ll n,ll mod) //x^n%c
{
    if (n==1) return x%mod;
    x%=mod;
    ll tmp=x;
    ll ret=1;
    while (n)
    {
        if (n&1) ret=Mult_mod(ret,tmp,mod);
        tmp=Mult_mod(tmp,mod);
        n>>=1;
    }
    return ret;
}

//以a为基,n-1=x*2^t      a^(n-1)=1(mod n)  验证n是不是合数
//一定是合数返回true,不一定返回false
bool Check (ll a,ll x,ll t)
{
    ll ret=Pow_mod(a,x,n);
    ll last=ret;
    for (int i=1;i<=t;i++)
    {
        ret=Mult_mod(ret,ret,n);
        if(ret==1&&last!=1&&last!=n-1) return true; //合数
        last=ret;
    }
    if (ret!=1) return true;
    return false;
}

// Miller_Rabin()算法素数判定
//是素数返回true.(可能是伪素数，但概率极小)
//合数返回false;

bool Miller_Rabin (ll n)
{
    if (n<2) return false;
    if (n==2) return true;
    if ((n&1)==0) return false;//偶数
    ll x=n-1;
    ll t=0;
    while ((x&1)==0) {x>>=1;t++;}
    for (int i=0;i<S;i++)
    {
        ll a=rand()%(n-1)+1; //rand()需要stdlib.h头文件
        if (Check(a,n,t))
            return false;//合数
    }
    return true;
}


//************************************************
//pollard_rho 算法进行质因数分解
//************************************************

ll factor[100];//质因数分解结果（刚返回时是无序的）
int tol;//质因数的个数。数组下标从0开始

ll Gcd (ll a,ll b)
{
    if (a==0) return 1;  //???????
    if (a<0) return Gcd(-a,b);
    while (b)
    {
        ll t=a%b;
        a=b;
        b=t;
    }
    return a;
}

ll Pollard_rho (ll x,ll c)
{
    ll i=1,k=2;
    ll x0=rand()%x;
    ll y=x0;
    while (true)
    {
        i++;
        x0=(Mult_mod(x0,x0,x)+c)%x;
        ll d=Gcd(y-x0,x);
        if (d!=1 && d!=x) return d;
        if (y==x0) return x;
        if (i==k) {y=x0;k+=k;}
    }
}
//对n进行素因子分解
void Findfac (ll n)
{
    if (Miller_Rabin(n)) //素数
    {
        factor[tol++]=n;
        return;
    }
    ll p=n;
    while (p>=n) p=Pollard_rho(p,rand()%(n-1)+1);
    Findfac(p);
    Findfac(n/p);
}

int main ()  // Poj 1811 交G++ 比c++ 快很多
{
   // srand(time(NULL));//需要time.h头文件  //POJ上G++要去掉这句话
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while (T--)
	{
		ll n;
		scanf("%I64d",&n);
		if (Miller_Rabin(n))
		{
			printf("Primen");
			continue;
		}
		tol=0;
		Findfac(n);
		ll ans=factor[0];
		for (int i=1;i<tol;i++)
			if (factor[i]<ans)
				ans=factor[i];
		printf("%I64dn",ans);
	}
	return 0;
}