切比雪夫不等式与大数定律与中心极限定律

切比雪夫（Chebyshev）不等式有很多表达形式，今天来看一下概率论中的。。。

设，

，那么，对于任意的

，

???

???

两者是相互蕴含的，所以只证明其一（仅仅在变量连续的前提下进行证明）：

???

???????????????

最后一步利用了公式：

???????

这个公式一般情况下范围是较强的。所以可以用切比雪夫不等式来对概率进行估计。

很常用的形式是：

???????

???????

概率上有 “

原则”，断言数据与均值的区别大于

?的概率是很小的。

大数定理和中心极限定理是对数据进行估计的另一种办法。

大数定理实际上与概率收敛的概念息息相关。

如果

，那么就说，Y?依照概率收敛于?a，?记做?

。

辛钦大数定理，也叫弱大数定理说明，独立同分布的随机变量序列，

，具有期望，

。那么：

???????

。

中心极限定理则是对分布类型的近似，对于独立同分布的

，当?n?趋向于无穷时，具有正态的特性：

???????

也可以写作：

???????

另有?De Movire-Laplace 定理。

???????

实际上，只要把伯努利分布看做是?n 个两点分布的和，套用中心极限定理即可。

在?Poission?分布的讲解处已经说明了伯努利分布以 Poission 分布为极限，现在又可以看到，它同样以正态分布为极限。