WV.26-大数阶乘算法6-入门篇之一

入门篇之一

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在《大数阶乘之计算从入门到精通－大数的表示》中，我们学习了如何表示和存储一个大数。在这篇文章中，我们将讨论如何对大数做乘法运算，并给出一个可以求出一个大整数阶乘的所有有效数字的程序。

大整数的存储和表示已经在上一篇文章做了详细的介绍。其中最简单的表示法是:大数用一个字符型数组来表示，数组的每一个元素表示一位十进制数字，高位在前，低位在后。那么，用这种表示法，如何做乘法运算呢？其实这个问题并不困难，可以使用模拟手算的方法来实现。回忆一下我们在小学时，是如何做一位数乘以多位数的乘法运算的。例如：2234*8。

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我们将被乘数表示为一个数组A[],a[1],a[2],a[3],a[4]分别为2,2,3,4,a[0]置为0。

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Step1: 从被乘数的个位a[4]起，取出一个数字4.

Step2: 与乘数8相乘，其积是两位数32，其个位数2作为结果的个位,存入a[4],十位数3存入进位c。

Step3: 取被乘数的上一位数字a[3]与乘数相乘，并加上上一步计算过程的进位C,得到27，将这个数的个位7作为结果的倒数第二位，存入a[3]，十位数2存入进位c。

Step4：重复Step3,取a[i]（i依次为4,1）与乘数相乘并加上c,其个位仍存入a[i],　十位数字存入c，直到i等于1为止。

Step5:将最后一步的进位c作为积的最高位a[0]。

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这一过程其实和小学学过的多位数乘以一位数的珠算乘法一模一样，学过珠算乘法的朋友还有印象吗？

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在计算大数阶乘的过程中，乘数一般不是一位数字，那么如何计算呢？我们可以稍作变通，将上次的进位加上本次的积得到数P,　将P除以10的余数做为结果的本位，将P除以10的商作为进位。当被乘数的所有数字都和乘数相乘完毕后，将进位C放在积的最前面即可。下面给出C语言代码。

一个m位数乘以n位数，其结果为m+n-1,或者m+n位，所以需首先定义一个至少m+n个元素的数组，并置前n位为0。

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计算一个m位的被乘数乘以一个n位的整数k，积仍存储于数组a

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void mul(unsigned char a[],unsigned long k,int m,int n)
{
     int i;
    unsigned long p;
    unsigned long c=0;
 
    for ( i=m+n-1; i>=n;i--)
    {
           p= a[i] * k +c;
           a[i]=(unsigned char)( p % 10);
           c= p / 10;
    }
  
    while (c>0)
    {
           a[i]=(unsigned char)( c % 10);
           i--;
           c /=10;
    }
}
 
int main(int argc,char* argv[])
{
    int i;
    unsigned char a[]={0,5};
    mul(a,678,3);
    i=0;
    while ( a[i]==0)
           i++;
    for (;i<4+3;i++)
        printf("%c",a[i]+’0’); //由于数a[i]（0<=a[i] <=9）对应的可打印字任符为’0’到’9’,所以显示为i＋’0’
               return 0;
}

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从上面的例子可知，在做乘法之前，必须为数组保留足够的空间。具体到计算n!的阶乘时，必须准备一个能容纳的n!的所有位数的数组或者内存块。即数组采有静态分配或者动态分配。前者代码简洁，但只适应于n小于一个固定的值，后者灵活性强，只要有足够的内存，可计算任意n的阶乘，我们这里讨论后一种情况，如何分配一块大小合适的内存。

n!有多少位数呢？我们给出一个近似的上限值：n! <(n+1)/2的n次方，下面是推导过程。

Caes 1: n是奇数，则中间的那个数mid= (n+1)/2,除了这个数外，我们可以将1到n之间的数分成n/2组，每组的两个数为 mid-i和mid+i (i=1到mid-1),如1,5,6,7 可以分为数4，和3对数，它们是(3,5),(2,6)和(1,7),容易知道，每对数的积都于小mid*mid，故n!小于(n+1)/2 的n的次方。

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Case 2: n 是个偶数，则中间的两个数(n－1)/2和(n+1)/2,我们将(n+1)/2记做mid,则其它的几对数是(mid-2,mid+1),(mid-3)(mid+2)等等，容易看出,n!小于mid 的n次方。

由以上两种情况可知，对于任意大于1的正整数n,n!<(n+1)/2的n次方。

如果想求出n!更准确的上限，可以使用司特林公式，参见该系列文章《阶乘之计算从入门到精通－近似计算之二》。

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到此，我们已经解决大数阶乘之计算的主要难题，到了该写出一个完整程序的时候了，下面给出一个完整的代码。

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#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
#include "memory.h"
#include "math.h"
#include "malloc.h"
void calcFac(unsigned long n)
{
   unsigned long i,j,head,tail;
int blkLen=(int)(n*log10((n+1)/2)); //计算n!有数数字的个数
   blkLen+=4;  //保险起见，多加4位
’
  if (n<=1)
   {       printf("%d!=0/n",n);     return;}
 
   char *arr=(char *)malloc(blkLen);       
   if (arr==NULL)
   {       printf("alloc memory fail/n"); return ;}
 
   memset(arr,sizeof(char)*blkLen);
   head=tail=blkLen-1;
   arr[tail]=1;
  
   for (i=2;i<=n;i++)
   {
           unsigned long c=0;
           for (j=tail;j>=head;j--)
           {
                    unsigned long prod=arr[j] * i +c;
                    arr[j]=(char)( prod % 10);
                    c= prod / 10;
           }
           while (c>0)
           {
                    head--;   
                    arr[head]=(char)(c % 10);
                    c/=10;
           }
   }
   printf("%d!=",n);
   for (i=head;i<=tail;i++)
           printf("%c",arr[i]+'0');
   printf("/n");
 
   free(arr);
}
 
void testCalcFac()
{
    int n;
    while (1)
    {
            printf("n=?");
            scanf("%ld",&n);
            if (n==0)       
                   break;
            calcFac(n);
    }
}
 
int main(int argc,char* argv[])
{
    testCalcFac();
    return 0;
}