WV.27-大数阶乘算法7-入门篇之二

入门篇之二

在《大数阶乘之计算从入门到精通―入门篇之一》中，我们给出一个计算阶乘的程序，它采用char型数组存贮大数，1个元素表示1位十进制数字，在计算时，一次乘法可计算一位数字和一个整数的乘积。该算法具有简单直观的优点，但缺点也是明显的，速度不快，占用内存空间也较多，本文将给出一个改后的程序，有效的克服了这些缺点。

学过80x86汇编的人都知道，8086/8088的CPU可对两个16比特的数相乘，其结果为32比特,80386及其后的32位CPU可对两个32比特的数相乘，结果为64比特（以下写作bit）。8086 CPU等16位CPU已完全淘汰，这是不去讨论它。在32位c语言编译器中，unsigned long(DWORD)型变量可以表示一个32bit的整数，unsigned short(WORD)型变量可表示一个16bit的整数。两个65535以内的数相乘，其结果完全可以存贮在一个unsigned long变量中。另外，在好多32位编译器中，也提供了64bit的整数类型（如在VC中，unsigned __int64可表示一个64bit的整数,在GCC中，long?long可表示一个64位的整数）。同理两个40亿以内的数相乘，其结果可以用一个unsigned __int64 型的变量来存储。让一个具有一次可计算两个32bit数乘法能力的CPU一次只计算1个1位10进制数和一个整数的乘法，实在是一种浪费。下面我们提出两种大数的表示法和运算方法。

第一种方法：用WORD型数组表示大数，用DWORD型变量表示两个WORD型变量的乘积。数组的每个元素表示4位十进制数。在运算时，从这个数的最后一个元素开始，依次乘以当前乘数并加上上次的进位，其和的低4位数依然存在原位置，高几位向前进位。当乘数i小于42万时，其乘积加上进位可以用一个DWORD型变量表示，故这个程序可以计算上到42万的阶乘，当计算42万的阶乘时，占用内存空间小于1.1兆字节。至于速度，在计算1000/10000的阶乘时，在迅驰1.7G电脑约需0.015/0.86秒。

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#include "stdlib.h"
#include "stdio.h"
#include "math.h"
 
#define PI 3.1415926535897932384626433832795
#define RAD 10000
typedef unsigned long DWORD;
typedef unsigned short WORD;
//用stirling公式估算结果长度,稍微算得大一点
DWORD calcResultLen(DWORD n,DWORD rad)
{
    double r=0.5*log(2*PI) + (n+0.5)*log(n)-n;
    return (DWORD)(r/log(rad)+2);
}
 
void calcFac1(DWORD n)
{
    DWORD i,carry,prod,len;
    WORD *buff,*pHead,*pTail,*p;
if (n==0)        
      { printf("%d!=1",n); return; }
 //---计算并分配所需的存储空间
 len=calcResultLen(n,RAD); 
 
     buff=(WORD*)malloc( sizeof(WORD)*len);
 
     if (buff==NULL)
             return ;
 //以下代码计算n!
    pHead=pTail=buff+len-1;
    for (*pTail=1,i=2;i<=n;i++)
    {
for (carry=0,p=pTail;p>=pHead;p--)
                  {
                     prod=(DWORD)(*p) * i +carry;
                     *p=(WORD)(prod % RAD);
                      carry=prod / RAD;
                  }
      while (carry>0)
                 {
                          pHead--;
                          *pHead=(WORD)(carry % RAD);
                          carry /= RAD;
                  }
    }
  //显示计算结果
  printf("%d!=%d",n,*pHead); 
   for (p=pHead+1;p<=pTail;p++)
printf("%04d",*p);
     printf("/n");
   free(buff);//释放分配的内存
}
int main(int argc,char* argv[])
{
DWORD n;
printf("please input n:");
scanf("%d",&n);
calcFac1(n);
return 0;
}

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第二种方法：用DWORD型数组表示大数，用unsigned __int64 表示两个DWORD型变量的乘积。数组的每个元素表示9位十进制数。在运算时，从这个数的最后一个元素开始，依次乘以当前乘数i(i=1..n)并加上上次的进位,其和的低9位数依然存在原位置，高几位向前进位。从算法上讲，这个程序能够计算到40亿的阶乘，在实际计算过程中，仅受限于内存的大小。至于速度，比前一个程序要慢一些，原因在于unsigned __int64的除法较慢。我们将在下一篇文章给出解决方法，下面是采用该方法计算阶乘的代码。

#define TEN9 1000000000
void calcFac2(DWORD n)
{
     DWORD *buff,*p;
     DWORD t,i,len;
     UINT64 carry,prod;
   
     if (n==0)
     { printf("%d!=1",n); return; }
 //---计算并分配所需的存储空间
     t=GetTickCount();
     len=calcResultLen(n,TEN9);
     buff=(DWORD*)malloc( sizeof(DWORD)*len);
     if (buff==NULL)
             return ;
 //以下代码计算n!
     pHead=pTail=buff+len-1;
     for (*pTail=1,i=2;i<=n;i++)
     {
                  for (carry=0,p=pTail;p>=pHead;p--)
                  {
                        prod=(UINT64)(*p) * (UINT64)i +carry;
                        *p=(DWORD)(prod % TEN9);
                        carry=prod / TEN9;
                  }
                  while (carry>0)
                  {
                          pHead--;
                          *pHead=(DWORD)(carry % TEN9);
                          carry /= TEN9;
                  }
     }
     t=GetTickCount()-t;
//显示计算结果 
     printf("It take %d ms/n",t);
     printf("%d!=%d",*pHead);
     for (p=pHead+1;p<=pTail;p++)
       printf("%09d",*p);
     printf("/n");
    free(buff);//释放分配的内存
}