概率统计：第五章 大数定律与中心极限定理

第五章???大数定律与中心极限定理

内容提要：

一、????大数定律

定理一（契比雪夫大大数定律的特殊情况）设随机变量

相互独立，具有相同的均值和方差：

记

,则对于任意给定的正数

，有

?

设随机变量

是一个随机变量序列,

是一个常数.若对于任意给定的正数

，有

则称序列

依概率收敛于

,记作

依概率收敛的序列有如下的性质:

设

.又设函数

在点

连续,则

定理一又可以叙述为:

设随机变量

相互独立，具有相同的均值和方差：

则序列

依概率收敛于

即

.

定理二(伯努利大数定律)?设

是

次独立重复试验中事件

发生的次数,

是事件

在每次试验中发生的概率,则对于任意给定的正数

，有

或记为

.

定理三?(辛钦大数定律)?设随机变量

相互独立，具有相同的分布,

则对于任意给定的正数

，有

.

二、????中心极限定理

定理四?(独立同分布的中心极限定理)?设随机变量

相互独立，具有相同的分布,

记

则对于任意实数

，有

定理四表明：均值为

，方差为

的独立同分布的随机变量

的和

的标准化变量的分布函数，当

充分大时，有

或者

????????????????

定理五(李雅普诺夫定理)?设随机变量

相互独立，具有数学期望和方差：

记???????????????????????

若存在正数

，使得

则随机变量

的和

的标准化变量：

分布函数

对于任意实数

，满足

定理六（棣莫弗—拉普拉斯定理） 设随机变量

服从二项分布

。则对于任意实数

，有

典型例题分析

例1、设随机变量

相互独立，且同服从

上的均匀分布，证明

证：对于任意整数

，若

，

当

时，

则??

所以，?

例2、设随机变量

相互独立，且同服从

上的均匀分布，

是

上的连续函数。试证明

证：由于

相互独立具有相同的分布，则

相互独立，且具有相同的分布，且

由辛钦大数定律，得

即?????????????????????

例3、某保险公司多年的统计资料表明：在索赔户中被盗索赔户占

，以

表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数。求被盗索赔户不少于14户，而不多于30的概率的近似值。

解：由题意得，

，根据棣莫弗—拉普拉斯定理得，

自测题

1、（5分）设随机变量

服从参数为

的泊松分布，则

????????。

??2、（15分）在天平上重复称量一重为

的物品，假设各次称重的结果相互独立，且同服从均值为

，方差为

的分布，

表示

次称重结果的算术平均值，求使

的最小正整数

。

??3、（10分）某市有300个寻呼台，每个寻呼台在每分钟内收到的电话呼叫次数服从参数

的泊松分布，试求该市某一分钟内的呼叫次数的总和小于70次的概率。

?4、（10分）投掷一枚色子，为了至少有95%的把握使点6向上的频率与概率之差的绝对值在

范围之内，问需要投掷多少次？

5、计算机在加数时，对每个加数取整（取为最接近的整数），设所有的取整数误差相互独立的，且它们都服从

上的均匀分布，如果将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？

（四）自测题参考答案

（1）

（2）16（3）

（4）5336（5）

_{from:?http://lxy.cumtb.edu.cn/gailvtongjidaoxue/chap5.htm}