最小函数依赖

举例：已知关系模式R<U,F>，U={A,B,C,D,E,G}，F={AB→C,D→EG,C→A,BE→C,BC→D,CG→BD,ACD→B,CE→AG}，求F的最小函数依赖集。

　　解1：利用算法求解，使得其满足三个条件

　　① 利用分解规则，将所有的函数依赖变成右边都是单个属性的函数依赖，得F为：F={AB→C,D→E,D→G,CG→B,CG→D,CE→A,CE→G}

　　② 去掉F中多余的函数依赖

　　A．设AB→C为冗余的函数依赖，则去掉AB→C，得：F1={D→E,CE→G}

　　计算(AB)F1+：设X(0)=AB

　　计算X(1)：扫描F1中各个函数依赖，找到左部为AB或AB子集的函数依赖，因为找不到这样的函数依赖。故有X(1)=X(0)=AB，算法终止。

　　(AB)F1+= AB不包含C，故AB→C不是冗余的函数依赖，不能从F1中去掉。

　　B．设CG→B为冗余的函数依赖，则去掉CG→B，得：F2={AB→C,CE→G}

　　计算(CG)F2+：设X(0)=CG

　　计算X(1)：扫描F2中的各个函数依赖，找到左部为CG或CG子集的函数依赖，得到一个C→A函数依赖。故有X(1)=X(0)∪A=CGA=ACG。

　　计算X(2)：扫描F2中的各个函数依赖，找到左部为ACG或ACG子集的函数依赖，得到一个CG→D函数依赖。故有X(2)=X(1)∪D=ACDG。

　　计算X(3)：扫描F2中的各个函数依赖，找到左部为ACDG或ACDG子集的函数依赖，得到两个ACD→B和D→E函数依赖。故有X(3)=X(2)∪BE=ABCDEG，因为X(3)=U，算法终止。

　　(CG)F2+=ABCDEG包含B，故CG→B是冗余的函数依赖，从F2中去掉。

　　C．设CG→D为冗余的函数依赖，则去掉CG→D，得：F3={AB→C,CE→G}

　　计算(CG)F3+：设X(0)=CG

　　计算X(1)：扫描F3中的各个函数依赖，找到左部为CG或CG子集的函数依赖，得到一个C→A函数依赖。故有X(1)=X(0)∪A=CGA=ACG。

　　计算X(2)：扫描F3中的各个函数依赖，找到左部为ACG或ACG子集的函数依赖，因为找不到这样的函数依赖。故有X(2)=X(1)，算法终止。(CG)F3+=ACG。

　　(CG)F3+=ACG不包含D，故CG→D不是冗余的函数依赖，不能从F3中去掉。

　　D．设CE→A为冗余的函数依赖，则去掉CE→A，得：F4={AB→C,CE→G}

　　计算(CG)F4+：设X(0)=CE

　　计算X(1)：扫描F4中的各个函数依赖，找到左部为CE或CE子集的函数依赖，得到一个C→A函数依赖。故有X(1)=X(0)∪A=CEA=ACE。

　　计算X(2)：扫描F4中的各个函数依赖，找到左部为ACE或ACE子集的函数依赖，得到一个CE→G函数依赖。故有X(2)=X(1)∪G=ACEG。

　　计算X(3)：扫描F4中的各个函数依赖，找到左部为ACEG或ACEG子集的函数依赖，得到一个CG→D函数依赖。故有X(3)=X(2)∪D=ACDEG。

　　计算X(4)：扫描F4中的各个函数依赖，找到左部为ACDEG或ACDEG子集的函数依赖，得到一个ACD→B函数依赖。故有X(4)=X(3)∪B=ABCDEG。因为X(4)=U，算法终止。

　　(CE)F4+=ABCDEG包含A，故CE→A是冗余的函数依赖，从F4中去掉。

　　③ 去掉F4中各函数依赖左边多余的属性（只检查左部不是单个属性的函数依赖）由于C→A，函数依赖ACD→B中的属性A是多余的，去掉A得CD→B。

　　故最小函数依赖集为：F={AB→C,CD→B,CE→G}

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