将对象定义为Scala中其他两个对象的操作

我正在 Scala中为大学的实验室实施符号分析.
为此,我需要对Pos,Neg,Zero等抽象值进行算术运算.
NonPos,NonNeg,…所以我必须声明方法,–,*,/ etc … on
那些抽象的价值.我实际上不需要定义所有内容
成对,但可以定义Pos,Neg和Zero上的“核心”操作,
然后使用上限来定义,例如：

NonPos + Pos = leastUpperBound(Zero + Pos,Neg + Pos)

例如,leastUpperBound(Zero,Neg)= NonPos

在Scala中,我使用case对象来表示值,并且有一个
每个人都使用了leastUpperBound()方法.但我还是有一些代码
重复我无法摆脱,例如我定义：

case object NonNeg extends Sign {
    def +(other: Sign) = leastUpperBound(Zero + other,Pos + other)
    def -(other: Sign) = ...
    def * = ...
    ...
}

我必须做同样的事情：

case object NonPos extends Sign {
    def +(other: Sign) = leastUpperBound(Zero + other,Neg + other)
    ...
}

然后再次：

case object NonZero extends Sign {
    def +(other: Sign) = leastUpperBound(Neg + other,Neg + other)
    ...
}

我想知道是否有可能拥有某种“类型工厂”以便我能做到
说出一点精神：

case object NonNeg extends UpperBoundSign[Pos,Zero]

我的直觉是,Pos和Zero是对象是不可能的,
但我对Scala并不熟悉,所以我可能会忘记一些特征或模式
请允许我这样做.

有没有人有任何想法删除这种重复？
也许2.10中的Scala宏可以很好地适应这个问题？

我希望问题很清楚,
谢谢.

编辑：感谢@cmbaxter的回答以及我的一些重构,我提出了一个我喜欢的解决方案.如果有人有兴趣看到它,可以在那里找到：https://gist.github.com/Ricordel/5553405.

trait Sign{
  def +(other: Sign):Sign
}

abstract class UpperBoundSign(pos:Sign,neg:Sign) extends Sign{
  def leastUpperBound(pos:Sign,neg:Sign):Sign
  def +(other: Sign) = leastUpperBound(pos + other,neg + other)
}

case object Pos extends Sign{
  def +(other:Sign) = ...
}

case object Neg extends Sign{
  def +(other:Sign) = ...
}

case object NonNeg extends UpperBoundSign(Pos,Neg){
  def leastUpperBound(pos:Sign,neg:Sign) = ...
}