『数据结构』RMQ 问题

RMQ (Range Minimum/Maximum Query)，即区间最值问题。

对于长度为 n 的数列 A ，回答若干查询 RMQ(A,i,j)(i,j<=n) ，返回数列 A 中下标在 i,j 里的最大(小)值。

相关算法

1. 朴素（搜索），时间复杂度： $O(n)-O(q×n)$ ，online
2. 线段树，时间复杂度： $O(n)-O(q×log n)$ ，online
3. ST（动态规划），时间复杂度： $O(n×log n)-O(q)$ ，online
4. RMQ标准算法，先规约为 LCA ，再规约成约束 RMQ ，时间复杂度： $O(n)-O(q)$ ，online

ST 算法

假设当前题目要求区间最小值，我们令 dp[i][j] 代表从 i 开始，长度为 $2^j$ 这段区间的最小值。

于是便有： $dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i+2^{j-1}][j-1])$

分析可知， $dp[i][j-1]$ 代表从 i 开始，长度为 $2^j$ 区间一半中的最小值，而 $dp[i+2^{j-1}][j-1]$ 即为区间的另一半。

最终（从下往上看）：

写一组数据，自己动手模拟一遍就可以理解咯~

预处理

根据状态转移方程，首先指定当区间长度为 $2^0$ 时的各初始值，随后推出后面的结果。

void ST_Init(const vector<int> &A)
{
    int n=A.size();
    for(int i=0; i<n; i++)
        dp[i][0]=A[i];
    for(int j=1; (1<<j)<=n; j++)
        for(int i=0; i+(1<<j)<=n; i++)
            dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}

查询

预处理出整个 dp 数组以后，查询操作很简单，令 k 为满足 $2^k<=R-L+1$ 的最大整数，则以 L 开头、以 R 结尾的两个长度为 $2^k$ 的区间合起来即覆盖了查询区间 [L,R] 。

int RMQ(int L,int R)
{
    int k=0;
    while((1<<(k+1))<=R-L+1)k++;
    return min(dp[L][k],dp[R-(1<<k)+1][k]);
}

线段树

嗯！怎么说呢？感觉线段树在这种类型的题目中好像是最万能的方法了。

无论是 [点修改 + 查询] 还是 [区间修改 + 查询] ，它都可以做到 $O(log n)$ 的复杂度，而且在线段树中我们也可以维护好多好多东西（区间和、最值等）。

当然，除了一维情况下的普通线段树，还有在二维平面中的线段树，类似的也可以实现三维、四维。。。（啊！千千你要做什么o((>ω< ))o）

好啦~

对于一维中的线段树，我们想要查询某个区间的最值，首先就应该建树咯~（具体方法省略）

而在查询时，我们可以从根节点向下递归搜索，如下图，假设查询区间为 [2,6] 。

将 [2,6] 这一个大区间分解为不相交的三个小区间 [2,3]、[4,5]、[6] ，而最终的结果便由这三个节点中所维护的信息决定咯！

我们假设查询还是区间最小值，于是最终的结果为 $min (1,7,6)=1$

线段树可以解决普通的 [点/区间] 修改 + 查询 ，当然它也可以解决 树中的路径权值 修改 + 查询（树链剖分）。

线段树：虽然我代码长，但是我功能强大呀~~~（〃｀ 3′〃）

千千：万一某天千千找到了更好的解法怎么办呢？

剧透：树链剖分其实是把一棵树剖分成很多链存储在一维空间中（压缩、压缩、压缩），然后最后的解法和一维线段树就变的一样咯。（干嘛说出来呀我~）

RMQ 标准算法

待定-ing