5.1 堆（heap）(解决优先队列)

5.1.1 定义

$color{red}{定义}$：
优先队列（Priority Queue）：特殊的“ 队列”，取出元素的顺序是依照元素的优先权（关键字） 大小，而不是元素进入队列的先后顺序。

即可认为：
每个加入队列的值有一定的意义（大小），进入队列没有规定，但是出队列要根据一定的意义（大小）出队列。

5.1.2 存储和特性

$color{red}{主要考虑插入和删除所消耗的时间！}$

我们运用优先队列的 $color{red}{完全二叉树}$：

---

特性：
1. $color{red}{结构性}$：用数组表示的完全二叉树；
2. $color{有序性** ： 任一结点 的关键字是其子树所有结点的最大值( 或最小值)
- “最大堆(MaxHeap)”,也称”大顶堆”：最大值
- “最小堆 ( MinHeap)”,也称”小顶堆”：最小值

5.1.3 堆抽象数据类型

5.1.3.1插入

5.1.3.2 删除

5.1.4 总结

1.了解堆的定义和结构；
2.会识别最大堆和最小堆，能做出相关习题；
3.编程（插入、删除、建立）。

5.2 哈夫曼树(解决编码)

5.2.1 定义

例：将百分制的考试成绩转换成五分制的成绩？

如何根据结点不同的查找频率构造更有效的搜索树？

$color{red}{带权路径长度}$$(WPL)$ ： 设二叉树有$n$个叶子结点 ，每个叶子结点带有权值 $w_k$ ，从根结点到每个叶子结点的长度为 $l_k$ ，则每个叶子结点的带权路径长度之和就是：
$WPL = sum^{n}_{i=1}{w_k}{l_k}$

$color{red}{哈夫曼树}$（最小二叉树）：WPL最小的二叉树。

5.2.2 构造与特点

1.$color{red}{构造}$

1. 把数据从小到大进行排列（构造最小堆）；
2. 每次把 权值最小的两棵 二叉树（节点）合并。

2.$color{red}{特点}$

1. 没有度为1 的结点；
2. $n$个叶子结点的 哈夫曼树共有$2n-1$个结点 ；
3. 哈夫曼树的任意非叶节点的 左右子树交换 后仍是哈夫曼树 ；
4. 对同一组 权值${w_1,w_2,……,w_n}$，存在 不同构的两棵哈夫曼树。

例如：
对一组 权值${1,2,3,3}$，可构成：不同构 的两棵哈夫曼树。

5.2.3 哈夫曼树编码

1.$color{red}{引子}$
给定一段字符串，如何 对字符进行编码 ，可以使得该字符串的编码存储空间最少！

例：假设有一段文本，包含$58$个字符，并由以下$7$个字符构：$a，e，i，s，t，空格（sp），换行（nl）$；这$7$个字符出现的次数不同。如何对这7 个字符进行编码，使得总编码空间最少？

进行不等长编码需注意：
$color{red}{ 前缀码}$$(prefix$ $code$)：任何字符的编码都不是另一字符编码的前缀。

用$color{red}{二叉树}$进行编码（编码代价最小）：
（1 ）左右分支：$0$、$1$；
（2 ）字符只在叶结点上。

2.$color{red}{习题}$

1. 为五个使用频率不同的字符设计哈夫曼编码，下列方案中哪个不可能是哈夫曼编码？
   A. 00，100，101，110，111
   B. 000，001，01，10，11
   C. 0000，0001，001，01，1
   D. 000，001，010，011，1

**解析：**A

$color{red}{判别是否是前缀码的算法}$

根据编码规则建立一个编码树，然后对于任何给定的要判断的码，起始结点设为根结点，读到一个0，转到左儿子，读到一个1，转到右儿子，直到读完，这时检查走到的结点是不是叶子结点~因为没有提到是最优编码，所以构成的编码树树不一定是哈夫曼树，该结点不必须由两个儿子。

---

5.3 集合

1. $color{red}{集合运算}$： 交、并、补、差，判定 一个元素是否属于某一集合。
2. $color{red}{并查集}$：集合 并、查找 某元素属于什么集合。
   
   • 可以 用 树结构 表示集合；
   • 采用数组存储形式。

1. 查找（返回根节点）
   

2. 并集合（一个根结点的父结点指针设置成另一个根结点 的数组下标）
   

5.4

#include<stdio.h>

#define MAXH 1001
#define MINH -10001

int H[MAXH],size;

void Create()
{
    size = 0;
    H[0] = MINH;
    /*设置"岗哨"*/
}

void Insert(int X)
{
    int i;
    for(i=++size;H[i/2]>X;i/=2)
        H[i] = H[i/2];
    H[i] = X;
}

int main()
{
    int count,outCount,x,i,outNumb;
    scanf("%d %d",&count,&outCount);
    Create();
    for(i = 0; i < count; i++)
    {
        scanf("%d",&x);
        Insert(x);
    }
    for(i = 0; i < outCount ; i++)
    {
        scanf("%d",&outNumb);
        printf("%d",H[outNumb]);
        while(outNumb>1)
        {
            outNumb/=2;
            printf(" %d",H[outNumb]);
        }
        printf("n");
    }
    return 0;
}

（编辑：李大同）

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