【菜鸟福音】KMP算法简单理解（从严蔚敏老师的《数据结构》出发

导言：本文有以下特点：

（1）主要讨论的是严蔚敏老师的《数据结构》中第四章所提到的KMP算法，即带NEXT[]辅助数组的KMP算法；

（2）主要针对初学者，对算法不熟悉的同学，主要目的是希望通过本文能让初学者快速理解KMP算法的NEXT的计算规则。

最近复习到KMP算法，发现之前虽然好不容易弄会了手动KMP计算NEXT而且自以为“理解”了KMP算法，结果复习起来发现基本要重看。痛定思痛，决定彻底弄懂这个玩意儿。

相信即使是初学者也能理解KMP算法的最大优势在于不需要将模式串回退匹配来提高速度。如果给出了NEXT数组，我估计绝大部分人都能够手动模拟搜索过程。

但问题就在于，怎么计算next数组呢？

严老师的书上给出了一种对next的计算算法。算法固然是很简单的，重点在于解释的过程。

我们先回顾一下书上的做法。

书上从一种匹配情况出发。

这种匹配情况中，已知在一次匹配的过程中有（每个字符写作p[])

‘p[1]p[2]..p[k]’=‘..p[j]’(即某段字符相等匹配)，并且已知p[j]的next[p[j]]的值为p[k]。

然后再考虑p(k+1)和p(j+1)的匹配情况。

书上的讲解虽然易懂，但是将其直接推演到求解一个模式串的next值得情况时则有些让人摸不着头脑：一个串和自己相比，又是错位相比,还是在知道某段值得情况下"向前看"去求下一个字符的next[],这是在是不好想象。

即使拿一个具体的例子来看,比如abbab。想要模拟一下这种假设,都让人手忙脚乱。

当然,如果算法基础比较好的同学也许分分钟搞定了这个问题,但是对于我这种来说...就需要另一个想法了!

那么来看看我的办法。

首先,让我们厘清KMP算法中next[]的意义吧。

next数组中的某个值next[k]的意义在于指出匹配失败时下一次匹配的模式串字符的位置.

它实际上是,当模式串中的p[k]与文本串(目标串)t[j]对比时,如果不能匹配,在将模式串右移的过程中,第一个遇到"合理的"的再一次与t[y]比较的模式串上的字符的位置,即p[next[k]]。

这个地方的合理性在于,从p[next[k]]之前的所有模式串字符,与当前位置下的目标串前面的一部分是完全相同的，即

'p[1]p[2]...p[next[k]-1]' = '...t[j-1]' = '...p[k-1]'

厘清合理性后,让我们来看看怎么求next[]。

对于一个模式串p[],我们很容易通过定义对其头两个字符的next进行赋值(*:如果第一个字符都不匹配,那么只能讲模式串右移;如果第二个字符不能匹配,那么只能再与第一个字符比较),在此处还是写作p[1]=0,p[2]=1;。

现在，假设我们已经对p[k]及其之前的每个字符都求得了next[]的值（这种假设是合理的，因为我们显然已经求得了p[1]、p[2]的next[]），那么我们现在来考虑p[k+1]对应的next值，即next[k+1]=x。

回顾定义，x应当是这样一个值：它能使得，当模式串与目标串已经匹配了k个字符时，即

'p[1]p[2]...p[k-1]p[k]'='...t[j-1]t[j]'

如果p[k+1]!=t[j+1]，那么p[x]就是下一个与t[j+1]比较的字符。

根据前面提到的合理性，此时，即移动后的模式串，在p[x]前的那些字符，是与目标串上相应位置上的字符相匹配的，即有：

'p[1]p[2]...p[x-1]' = '...t[j-1]' = '...p[k]'

注意，此时也就是有

'p[1]p[2]...p[x-1]'='...p[k]'。

此时相等意义正是理解算法的关键。

因为已经说过此时求得了p[k]的next[k]=y为已知，而这个y的意义由前面的合理性知道，有

'p[1]p[2]..p[y-1]'='...p[k-1]'

如果此时再满足：p[y]=p[k]，那么此时有：

'p[1]p[2]..p[y-1]p[y]' = '...p[k-1]p[k]' = 'p[1]p[2]...p[x-1]'

也就是说此时满足了如下条件y=x-1!（由KMP的“最长部分匹配”条件可以得此时的推导是充要的，本文重在理解，此处的推理也就不证明啦）。那么我们就求得了

next[k+1]=x=y+1=next[k]+1

这就是严老师教材所给出的公式，不过严老师教材中的推理好比从后向前看，这里更多的是从前向后看。

不过这个过程还没结束，如果p[y]!=p[k]怎么办？，注意，此时我们有

'p[1]p[2]..p[y-1]'='...p[k-1]'

所以p[y]的next值即next[y]同样满足前面说到的合理性，因此可以有y2=next[y]，继续递归...直到，最后一个yn=1。

整个过程就好比一个解方程的过程，有方程特征（即next[]的性质和KMP的性质)，有初值和边界条件（即p[k]及之前的字符的next[]值已知，且当第一个字符不匹配时模式串右移)，那么就可以求得P[K+1]的next[]值。

这个理解就写到这里啦，有许多地方数学的表达不严谨，重在理解嘛。

如有勘误，请指正。欢迎讨论！

谢谢阅读！

（编辑：李大同）

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