一种计算任意大整数的整数平方根(isqrt)的有效算法

注意

有关Erlang或C/C++的解决方案,请转到下面的试用版4.

维基百科文章

Integer square root

>可以在此处找到“整数平方根”的定义

Methods of computing square roots

>这里可以找到一个“魔术”的算法

[试验1：使用库功能]

码

isqrt(N) when erlang:is_integer(N),N >= 0 ->
    erlang:trunc(math:sqrt(N)).

问题

此实现使用C库中的sqrt()函数,因此它不适用于任意大整数(请注意,返回的结果与输入不匹配.正确答案应为12345678901234567890)：

Erlang R16B03 (erts-5.10.4) [source] [64-bit] [smp:8:8] [async-threads:10] [hipe] [kernel-poll:false]

Eshell V5.10.4  (abort with ^G)
1> erlang:trunc(math:sqrt(12345678901234567890 * 12345678901234567890)).
12345678901234567168
2>

[试验2：仅使用Bigint]

码

isqrt2(N) when erlang:is_integer(N),N >= 0 ->
    isqrt2(N,3,0).

isqrt2(N,I,_,Result) when I >= N ->
    Result;

isqrt2(N,Times,Result) ->
    isqrt2(N,I + Times,Times + 2,Result + 1).

描述

此实现基于以下观察：

isqrt(0) = 0   # <--- One 0
isqrt(1) = 1   # <-+
isqrt(2) = 1   #   |- Three 1's
isqrt(3) = 1   # <-+
isqrt(4) = 2   # <-+
isqrt(5) = 2   #   |
isqrt(6) = 2   #   |- Five 2's
isqrt(7) = 2   #   |
isqrt(8) = 2   # <-+
isqrt(9) = 3   # <-+
isqrt(10) = 3  #   |
isqrt(11) = 3  #   |
isqrt(12) = 3  #   |- Seven 3's
isqrt(13) = 3  #   |
isqrt(14) = 3  #   |
isqrt(15) = 3  # <-+
isqrt(16) = 4  # <--- Nine 4's
...

问题

这个实现只涉及bigint添加,所以我希望它能够快速运行.但是,当我用2222222222222222222222222222222222222222 * 2222222222222222222222222222222222222222喂它时,它似乎永远在我(非常快)的机器上运行.

[试验3：仅使用Bigint 1,-1和div 2进行二进制搜索]

码

变式1(我的原始实现)

isqrt3(N) when erlang:is_integer(N),N >= 0 ->
    isqrt3(N,1,N).

isqrt3(_N,Low,High) when High =:= Low + 1 ->
    Low;

isqrt3(N,High) ->
    Mid = (Low + High) div 2,MidSqr = Mid * Mid,if
        %% This also catches N = 0 or 1
        MidSqr =:= N ->
            Mid;
        MidSqr < N ->
            isqrt3(N,Mid,High);
        MidSqr > N ->
            isqrt3(N,Mid)
    end.

变式2(修改上面的代码,以便边界与中间1或中间1相反,参考answer by Vikram Bhat)

isqrt3a(N) when erlang:is_integer(N),N >= 0 ->
    isqrt3a(N,N).

isqrt3a(N,High) when Low >= High ->
    HighSqr = High * High,if
        HighSqr > N ->
            High - 1;
        HighSqr =< N ->
            High
    end;

isqrt3a(N,if
        %% This also catches N = 0 or 1
        MidSqr =:= N ->
            Mid;
        MidSqr < N ->
            isqrt3a(N,Mid + 1,High);
        MidSqr > N ->
            isqrt3a(N,Mid - 1)
    end.

问题

现在,它解决了在闪电般的速度的79位数字(即2222222222222222222222222222222222222222 * 2222222222222222222222222222222222222222),其结果是立即显示.但是,它需要60秒时间 – 我的机器上解决一百万(1,000,000)61位数字(即从1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000到1000000000000000000000000000000000000000000000000000001000000)(2秒).我想更快地做到这一点.

[试验4：使用牛顿方法与Bigint和div仅]

码

isqrt4(0) -> 0;

isqrt4(N) when erlang:is_integer(N),N >= 0 ->
    isqrt4(N,N).

isqrt4(N,Xk) ->
    Xk1 = (Xk + N div Xk) div 2,if
        Xk1 >= Xk ->
            Xk;
        Xk1 < Xk ->
            isqrt4(N,Xk1)
    end.

C/C++代码(为了您的兴趣)

递归变体

#include <stdint.h>

uint32_t isqrt_impl(
    uint64_t const n,uint64_t const xk)
{
    uint64_t const xk1 = (xk + n / xk) / 2;
    return (xk1 >= xk) ? xk : isqrt_impl(n,xk1);
}

uint32_t isqrt(uint64_t const n)
{
    if (n == 0) return 0;
    if (n == 18446744073709551615ULL) return 4294967295U;
    return isqrt_impl(n,n);
}

迭代变体

#include <stdint.h>

uint32_t isqrt_iterative(uint64_t const n)
{
    uint64_t xk = n;
    if (n == 0) return 0;
    if (n == 18446744073709551615ULL) return 4294967295U;
    do
    {
        uint64_t const xk1 = (xk + n / xk) / 2;
        if (xk1 >= xk)
        {
            return xk;
        }
        else
        {
            xk = xk1;
        }
    } while (1);
}

问题

Erlang代码在我的机器上在40秒(-1秒)内解决了一百万(1,000)个61位数字,所以这比试用版3更快.它可以更快吗？

关于我的机器

处理器：3.4 GHz Intel Core i7

内存：32 GB 1600 MHz DDR3

操作系统：Mac OS X版本10.9.1

相关问题

Integer square root in python

> answer by user448810使用“牛顿法”.我不确定使用“整数除法”进行除法是否合适.我稍后会尝试将其作为更新. [更新(2015-01-11)：可以这样做]
> answer by math涉及使用第三方Python软件包gmpy,这对我来说不是很有利,因为我主要感兴趣的是只用内置工具在Erlang中解决它.
> answer by DSM似乎很有趣.我真的不明白发生了什么,但似乎那里有“魔法”,所以它也不太适合我.

Infinite Recursion in Meta Integer Square Root

>这个问题适用于C,而AraK(提问者)的算法看起来与上面的试验2的想法相同.

low = 1;

/* More efficient bound

high = pow(10,log10(target)/2+1);

*/


high = target


while(low<high) {

 mid = (low+high)/2;
 currsq = mid*mid;

 if(currsq==target) {
    return(mid);
 }

 if(currsq<target) {

      if((mid+1)*(mid+1)>target) {
             return(mid);
      }    
      low =  mid+1;
  }

 else {

     high = mid-1;
 }

}

acc = target

log10 = 0;

while(acc>0) {

  log10 = log10 + 1;
  acc = acc/10;
}

bound = 1;
acc = N;
count = 0;
while(acc>0) {

 acc = acc/10;

 if(count%2==0) {

    bound = bound*10;
 }

 count++;

}

high = bound*10;
low = bound/10;
isqrt(N,low,high);