（啊，图片好像还有CSDN水印呢）

主要参考资料：CLJppt。

预备知识

自动机组成：状态、初始状态、终止状态、状态转移、字符集。

什么是状态？

经典图片：

ACADD对应的SAM

对于整个串而言，初始状态（以下简称为init）为ROOT，终止状态集合（以下简称end）为最上方及最右方的那两个写着D的圈（状态既不是字符，也不是子串，在这里把它理解为某个下标更好），所有的状态就是那七个圈，每条实线边代表从一个状态向另一个状态的状态转移。字符集不太重要，在这里为26个字母（暂不区分大小写）。

定义的标注

为便于阅读及写作，下文中，定义均使用

• 定义

的格式进行标注。当发现有问题时，不妨回到开头再看一眼定义。

正文

Part 1 自动机&&后缀自动机的一些定义

• 用(trans())代表状态转移函数（即上文所说边）。
• (trans(s,ch))表示从状态s起，通过字符ch转移所到达的状态（就是走标号为ch的边到达的点）。
• (trans(s,ch))表示的状态若不存在，则值为NULL。同时规定(trans(NULL,anyunderline{;}possibleunderline{;}value))只能为NULL。

例如，上图中，如果当前状态在左下角的A这个圈，通过‘D‘可以转移到右下角倒数第二个D这个圈，通过‘C‘可以转移到。。。唯一的C所在的圈。

由于一直用**圈**表述状态实在太麻烦，因此在不引起歧义的前提下，我也会使用某个字符来表示状态。但请时刻注意，状态并非字符。

• (trans(s,str))表示从s状态起，通过字符串str转移后到达的状态。

例如，上图中，从init通过字符串"AC"转移可以到达唯一的那个C。

很明显，有如下函数（伪代码）：

trans(s,str)
    cur = s;
    for i = 0 to len(str) - 1
        cur = trans(cur,str[i])
    return cur

就是说，(trans(s,str))可以看成是一大堆(trans(s,ch))的总和。

• 于是某个自动机A能识别的字符串就是所有使得(trans(init,x) in end)的字符串x。记为(Reg(A))

（说白了就是把x放到ROOT上开始沿着边跑，如果在end中节点上结束，就说能识别。栗子：我往一颗Trie树中插了字符串"ACADD"，那这颗Trie就能识别"ACADD"，不能识别"ACA"、"BC"等等奇奇怪怪的字符串）

• 从状态s开始能识别的字符串，就是所有使得(trans(init,x) in end)的字符串，记为(Reg(s))。
• (Reg())的值是个集合。

比如，还是刚才那图，从C开始，"DD"可以被识别（因为(trans(C)所在的圈，("DD") in end)）

• S的后缀自动机（以下简称为SAM），能够识别S的所有后缀。

也就是说，当且仅当x是S的后缀时，(x in Reg(SAM))。既然能识别所有的后缀，那我们扩展end集合后，SAM也能识别S所有后缀的前缀，即S的子串。

Part 2 减少状态及一些性质

当然我们可以把一个串的所有后缀都插入Trie树，这当然也是后缀自动机，但是时间、空间复杂度都是(O(n^2))。

考虑到这样一颗Trie树会有很多重复的字符，因此我们需要最简状态后缀自动机，即状态数（就是需要的圈）最少的后缀自动机。

一些性质

• (ST(str)=trans(init,str))

定义(ST(str))为初始状态读入str（以下用“读入%s”表示“通过%s转移”）后到达的状态。

• (Suf)：原串S后缀的集合
• (Fac)：原串S子串的集合
• (S[l,r))表示S中([l,r))这个区间构成的子串。
• (Suffix(a))表示从位置a开始的后缀，即(S[a,len(s)))。
• 约定S下标从0开始。
• 若(l>=r)，(S[l,r)="")

对于一个字符串s，如果(s notin Fac)，那么(ST(s)=NULL)（显然）。而如果(s in Fac)，那么(ST(S) not= NULL)，因为如果s是S的子串，在s后面加上一些字符就可能变为S的后缀。

考虑朴素的插入，是对每个(s in Fac)都新建一个状态（既然对所有后缀建一条链，那对于某个后缀的前缀的最后一个字符，都要新建一个状态，那么可以看作对每个子串新建了一个状态），这样做是(O(n^2))的。

考虑对于某个字符串(a)，(ST(a))能识别那些字符串，即从(ST(a))起通过那些字符串可转移到end，即(Reg(ST(a)))

(x in Reg(SAM))，当且仅当(x in Suf)

(x in Reg(ST(a)))，当且仅当(ax in Suf)

也就是说ax是S后缀，那么x必定也是S后缀。(therefore Reg(ST(a)))是一些后缀集合。

现在，对于一个状态s，我们只关注(Reg(s))。

对于某个子串a，如果(S[l,r)==a)，那么(ST(a))能识别(Suffix(r))。

如果a在S中出现的位置的集合为({(l,r)|S[l,r)==a}={[l_1,r_1),[l_2,r_2),...,[l_n,r_n)})，那么(Reg(ST(a))={Suffix(r_1),Suffix(r_2),Suffix(r_n)})。

不妨令(Right(a)={r_1,r_2,r_n})。

那么(Reg(ST(a)))完全由(Right(a))决定。

又因为我们要使状态数最少，那所有状态s应该与所有(Reg(s))一一对应（首先，每个状态s一定能映射到一个Reg集合。然后，如果两个s映射到同一个Reg集合，为什么不把它们合并呢？）。也就是说，(Reg(ST(a))==Reg(ST(b)) Leftrightarrow ST(a)==ST(b))

那么对于两个子串(a,b in Fac)，如果(Right(a)=Right(b))，那么(Reg(ST(a))=Reg(ST(b)))，即(ST(a)=ST(b))。

• (Right(ST(a))=Right(a))

所以一个状态s，可以由所有(Right)集合是(Right(s))的字符串从init转移到达。记这些字符串为(Sub(s))

• (Sub(s)={str|ST(str)=s})

不妨设(r in Right(s))，那么如果再给出一个合法的子串长度len，那么这个子串就是(S[r-len,r))。即给定某个合法的（在这里指存在某个状态s的Right集合等于它）Right集合后，再给出一个合法的长度就可以确定子串了。

考虑对于一个Right集合，如果对于串长为(len=l or len=r)的子串是合法的，那么对于(len in [l,r])的子串也一定合法。

一些说明：设Right集合(R_1)中有一元素 (substringunderline{;}r_{1}) ，在 (len=l or len=r(l<=r)) 的情况下 (Right(S[substringunderline{;}r_{1}-len,substringunderline{;}r_{1}))=R_1) ，那么情况如图。

很显然，对于(len in [l,r],S[substringunderline{;}r_1-len,substringunderline{;}r_1))，都可以且仅可以识别R1中元素开始的后缀。而对于(len>r)，只能保证仅可以；对于(len<l)，只能保证可以。因此在(len notin [l,r])情况下，不保证(Right(S[substringunderline{;}r_1-len,substringunderline{;}r_1))=R_1)。

所以对于一个Right集，合法的长度只能存在于一个区间内。

不妨设对于一状态s，合法的区间长度为([Min(s),Max(s)])

状态数线性证明

考虑两个状态a,b，各自的Right集合分别为(R_a,R_b)。

假设(R_a cap R_b not= emptyset)，设(r in R_a cap R_b)。

由于(Sub(a),Sub(b))不会有交集（(trans(init,str))只能到达一个状态），所以([Min(a),Max(a)])和([Min(b),Max(b)])也不可能有交集（不然的话以r为结束的某些子串会既到达a，又到达b）。

不妨设(Max(a)<Min(b))，那么(Sub(a))中所有串长度都小于(Sub(b))中的串。由于(Sub(a),Sub(b))中的串都可以接上(Suffix(r))（(Right)定义），那么(Sub(a))中串必定是(Sub(b))中串的后缀。

于是(Sub(b))中某串出现的位置上，(Sub(a))中某串也必然能在这里出现。因此(R_b subset R_a)。又(R_a not= R_b)，所以(R_b subsetneqq R_a)。

于是，(Fac)中任意两串的(Right)集合，要么不相交，要么一个是另一个的真子集，要么完全相同。

那么，如果我们把所有的(Right)集合组成集合，我们可以把他们组织成一个树的结构（如上图）。我们把它叫做Parent树。

很明显，这棵树叶节点有n个，而每个非叶子节点至少有两个孩子（不存在只有一个孩子），易证树的大小为(O(n))级别（显然？？）。

后面会用到的一些东西

令一个状态s，令(fa=Parent(s))代表唯一的那个(Right)集合是(Right(s))父节点对应的集合的状态（这句话有点绕口，多读）。那么自然有(Right(s) subsetneqq Right(fa))，并且(Right(fa))的大小是其中最小的。

考虑(len(Sub(s)))和(len(Sub(fa)))。则(len(Sub(s)) in [Min(s),Max(s)])。考虑(Min(s)-1)为什么不可以，因为长度变短，限制条件变少，于是可出现的位置多了。假设(Right(s)=R_1)，还是这幅图：

这是(Min(s)-1)的情况：

显然，这个变大后的(Right)集是所有包含(R_1)的集合中最小的一个。因此它就是(Right(fa))。因此，(Max(fa)=Min(s)-1)。（L就是(Min(s))）

状态转移数线性的证明

我们已经证明了状态数是(O(n))的，为证明这是一个线性结构，还需证明它状态转移数也是(O(n))的。

• 若(trans(s,a)=t)，则s向t连一条标号为a的边（就是s->ch[a] = t）。

自己看CLJ课件去！

显然法：状态是(O(n))的，每个状态最多连出26条边，状态很显然是(O(n))的。

Part 3 构造

回顾定义与性质

• 状态s，转移trans，初始状态init，终止状态集合end。
• 母串S，S的后缀自动机SAM。
• (Right(str))表示(str)在母串中所有出现的位置右端点集合。
• (Sub(s))中所有子串(Right)集合相同，为(Right(s))。
• (Parent(s))与(Parent)树。

对于一个状态s，它的(Right(s)={r_1,r_n})，现有s->ch[a]=t，考虑t的(Right)集合，由于t比s多一个字符，因此它限制更多，(Right(t)={r_i+1|S[r_i]==c})。

终于可以把这张大图下放了。

例如，对这个"ACADD"的SAM，若s = root->ch[‘a‘]，t = s->ch[‘d‘]，那么(Right(s)={1,3})（对应的后缀为"DD","ACDD"），(Right(t)={4})（对应的后缀为"D"），显然符合前面所说规则。（记住下标从0开始）

同时，如果s出发有标号为x的边，那么(Parent(s))出发也一定有（因为(s subsetneqq Parent(s))）。

令(f=Parent(s))。那么(Right(trans(s,c)) subset Right(trans(f,c)))（因为(s subsetneqq f)）。

一个显然的推论是(Max(t)>Max(s))。（对t而言，如果不考虑(Min(t))，那么(len=Max(s)+1)显然合适）

具体操作

• (SAM(str))：str的后缀自动机

我们使用在线方法构造，即每次添加一个字符，使得当前SAM变成包含这个新字符的SAM（即，先构造(SAM(S[0,i))，再构造(SAM(S[0,i+1))）。

令当前字符串为T，新字符为x，令(len(t)=L)。

在(SAM(T) rightarrow SAM(Tx))的过程中，这个SAM可以多识别一些原串S的子串，这些子串都是Tx的后缀。

Tx的后缀，就是在T的后缀后面接上字符x。

考虑所有可以表示T后缀（即，(Right)集中包含L）的节点(v_1,v_2,v_3,...)。

由于必然存在一个(Right(p)=L)的状态p（(p=ST(T))），那么由于(v_1,v_3...)的(Right)集合中都含有L，那么它们在(Parent)树中必然全是p的祖先（由于(Parent树的性质)）。那么可以使用(Parent)函数得到它们。

同时我们添加一个字符x后，令(np=ST(Tx))，则此时(Right(np)=L+1)。

不妨设(v_1=p,v_2=Parent(v_1),v_3=Parent(v_2),v_k=Parent(v_{k-1})=root)（(Right(root)=[0,L])）。

考虑其中一个v的(Right)集合({r_1,r_n}(r_n=L))，那么如果v->ch[x]=nv，则(Right(nv)={r_i+1 | S[r_i]==x})。同时，如果v->ch[x]=NULL，那么v的(Right)集合内就没有一个(r_i)使得(S[r_i]==x)（先不考虑(v_n)）。

又由于(Right(v_1) subsetneqq Right(v_2) subsetneqq Right(v_3)...)，那么如果v[i]->ch[x]!=NULL，那么v[j]->ch[x]也一定不是NULL（(j>i)）。

情况1

对于v->ch[x]==NULL的v，它的(Right)集合内只有(r_n)满足要求，所以根据之前提到的规则，使得v->ch[x]=np。

情况2

令(v_p)为(v_1,...)中第一个ch[x]!=NULL的状态。

考虑(Right(v_p)={r_1,r_n})，令(trans(v_p,x)=q)。

那么(Right(q)={r_i+1|S[r_i]==x})（不考虑 (r_n) ）。

但是，我们不一定能直接在(Right(q))中插入(L+1)（暂且不管如何插入）。

如果在(Right(q))中直接插入(L+1)，由于限制条件增加，可能使(Max(q))变小。

放图：

红色是结束在(Right(v_p))位置上，长度为(Max(v_p))的串，蓝色为结束在(Right(q))位置上，长度为(Max(q))的串。

于是强行做的话，(Max(q))变小就很显然了。

当然，如果(Max(q)==Max(v_p)+1)，就不会有这样的问题（这个很显然，把上图蓝色串开头的A改成B就行了），直接插入即可。

怎么插入？(Parent(np)=q)。

证明：很显然(Right(np) subsetneqq Right(q))（q不会是(ST(T))，(L+1 in Right(q))），所以只需证明(Right(q))是所有包含(Right(np))的集合中大小最小的。反证法，假设存在一个包含(Right(np))的集合(Right(f))，且(Parent(f)=q)，那么(Min(f)=Max(q)+1)，于是当(len=Max(q)+1)时，(len in [Min(f),Max(f)])。设(Right(q)={r_1,r_k,r_n})，(Right(f)={r_1,r_n})，看图。

如果真是这样，(Right(p))不会是图上的(Right(p))，其中上方左数第一条边不应该存在（左数第三条可能也不存在）。因为只需要第2、4条边就可以使p->ch[x]!=NULL了，而这时第一条边显然还没有（加入它后Right(p)会变小）。于是产生矛盾，由此命题得证。

情况3

在2的情况下再减去一些限制条件又会怎样呢？

比如，现在没有了(Max(q)==Max(v_p)+1)。

这个条件这么好，没有了岂不是可惜？

没有条件，创造条件。

上图中，红色为(Right(v_p))，蓝色为(Right(q))，绿色为(Right(nq))。

我们把q拆成两份：新建一个节点nq，使(Right(nq)=Right(q) cup {L+1})。这时，我们可以证明(Max(nq)=Max(v_p)+1)，由于证法与上面那个证明非常类似所以不说了。

于是(Right(q),Right(np) subsetneqq Right(nq))，且(Right(np)+Right(q)=Right(nq))（图上可以看出）。于是，(Parent(np)=Parent(q)=Parent(nq))。

又由于(Min(q)=Min(nq))（感性认知），所以(Parent(nq)=Parent(q))(原来的)。

然后，(trans(nq,x)=trans(q,x))(因为多出来的那个点再转移过程中没有用)。

接着，我们回头考虑(v_1,v_k)这一序列。其中最早在(v_p)处ch[x]!=NULL。于是乎只有一段(v_p,v_e)（不是(v_p,v_k)，因为(v_e)之后(Right(v->ch[x]))会更大）通过x边转移到q。那么现在把这一段的(trans(ast,x))改为nq既可。

结束了！

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