如何在linux shell脚本中将变量与变量相比减去常量？

我想比较一个变量与另一个变量减去linux shell脚本中的常量.

在cpp中,这将是这样的：

int index = x;
int max_num = y;

if (index < max_num - 1) {
  // do whatever
} else {
  // do something else
}

在shell中我尝试了以下内容：

  index=0
  max_num=2
  if [ $index -lt ($max_num - 1) ]; then
    sleep 20
  else 
    echo "NO SLEEP REQUIRED"
  fi

我也尝试过：

if [ $index -lt ($max_num-1) ]; then
...

if [ $index -lt $max_num - 1 ]; then
...

if [ $index -lt $max_num-1 ]; then
...

但这些版本不起作用.
你怎么正确地写这样的条件？

问候