python – 评估1 / tanh(x) – 1 / x表示非常小的x

发布时间：2020-12-20 11:59:23 所属栏目：Python 来源：网络整理

导读：我需要计算数量 1/tanh(x) - 1/x 对于x 0,其中x可以非常小而且非常大. 渐渐地对于小x,我们有 1/tanh(x) - 1/x - x / 3 对于大x 1/tanh(x) - 1/x - 1 无论如何,在计算表达式时,已经从10 ^ -7和更小的舍入误差导致表达式被评估为0： import numpyimport matplo

我需要计算数量

1/tanh(x) - 1/x

对于x> 0,其中x可以非常小而且非常大.

渐渐地对于小x,我们有

1/tanh(x) - 1/x  ->  x / 3

对于大x

1/tanh(x) - 1/x  ->  1

无论如何,在计算表达式时,已经从10 ^ -7和更小的舍入误差导致表达式被评估为0：

import numpy
import matplotlib.pyplot as plt


x = numpy.array([2**k for k in range(-30,30)])
y = 1.0 / numpy.tanh(x) - 1.0 / x

plt.loglog(x,y)
plt.show()

enter image description here

解决方法

对于非常小的x,可以使用 the Taylor expansion of 1/tanh(x) - 1/x around 0,

y = x/3.0 - x**3 / 45.0 + 2.0/945.0 * x**5

误差为O(x ** 7),因此如果选择10 ^ -5作为断点,相对和绝对误差将远低于机器精度.

import numpy
import matplotlib.pyplot as plt


x = numpy.array([2**k for k in range(-50,30)])

y0 = 1.0 / numpy.tanh(x) - 1.0 / x
y1 = x/3.0 - x**3 / 45.0 + 2.0/945.0 * x**5
y = numpy.where(x > 1.0e-5,y0,y1)


plt.loglog(x,y)
plt.show()

enter image description here

（编辑：李大同）

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