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游戏长这样

• 图形必须是连通的不能有孤立的点。
• 图中拥有奇数连接边的点必须是 0 或 2。

对于一个连通图，通常把从某结点出发一笔画成所经过的路线叫做欧拉路。那么这个游戏是不是就是让我们找到一条欧拉路呢?

对游戏进行抽象

按照上面证明七桥问题的方法，我们可以将游戏的地图抽象成这样：

• 其中 14 号顶点为起点。
• 顶点和边的关系在程序中可以刻画成一个二维列表。

graph = [
 [1,6],#0
 [0,2],#1
 [1,7,3],#2
 ...
 [24,19] #25
]

graph 列表的第一层表示每一个顶点，第二层则是与当前顶点有边的顶点。

抽象完这张游戏地图后可以很清楚知道，这游戏并不是让我们找到一条欧拉路。

因为找到一条欧拉路，需要的是经过每一座桥，且只经过一次，也就是说每个顶点可以被多次经过。

而这个游戏需要的是经过每一个顶点，并不要求走完每一座桥，且顶点只能被经过一次。

哈密顿通路

在研究了七桥问题发现并不能解决这类问题后，我开始向团队的表哥们请教，其中一个表哥告诉我此类问题叫做哈密顿图 (这里感谢下团队的**@xq17**表哥)。

这里说的哈密顿图，实际上是哈密顿通路的一种特殊情况，指的是：由指定的起点出发，途中经过所有其他顶点且只经过一次 ，最后返回起点，称之为哈密顿回路。如果给定的图 G 具有哈密顿回路，则称图 G 为哈密顿图。

#! /usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
# Coding with love by Naiquan.
import math
import time
start = time.clock()
number = int(740914799/2)
marks_list = [True] * (number + 1)
marks_list[0] = marks_list[1] = False
for i in range(2,int(math.sqrt(number)) + 1):
 j = i
 t = j
 # 去掉倍数
 while j * t <= number:
 marks_list[j * t] = False
 t += 1
elapsed = str(time.clock() - start)
print marks_list.count(True)
print "Time used:" + elapsed

一共有 19841519 个质数，算了我大概 14 分钟。

PxP 的元素个数一共有 19841519^2 个，要一个个验证是否等于 740914799，无疑又是一项很大的工程，这就是典型的 NP 类问题。NP 类问题虽然难，但是可以很快验证一个给定的答案，是否正确。

比如上面的题，我告诉你答案 a=22229，b=33331，你很快就能验证答案是否正确了。而 NP-hard 问题则是比 NP 问题更难的问题，例如：围棋。

也就是说并不能找到一个友好的算法，来解决哈密顿通路问题。

算法设计

虽然找到一个图的哈密顿通路是 NP 困难的，但是好在游戏中的顶点不算太多，还是可以使用暴力一点的方法实现的，例如：图的深度优先遍历法(DFS) 即递归和回溯法思想。

算法流程：

①将当前顶点压入已访问栈和路径栈中。

②将与当前顶点相通的顶点列出来。

③随机选取一个相通的顶点，并判断此顶点是否在已访问栈中：

• 在已访问栈中则取另一个相通的顶点。
• 不在则将这个相通的顶点作为当前顶点。
• 若所有相通的顶点都在已访问栈中， 则判断路径栈是否包含所有顶点。
• 路径栈中包含所有顶点，则路径栈为当前图的哈密顿通路。
• 不包含所有顶点则回到父顶点， 并从已访问栈和路径栈中删除。

④反复执行 1~3。

算法实现

上面说过图的顶点和边的关系可以用一个二维列表来描述：

graph = [
 [1,19] #25
]

但是要手动输入这些顶点和边的关系还是太麻烦了。仔细想了下，如果每个顶点的上下左右有顶点，就一定与上下左右的顶点有边。

那么这个二维列表就可以简化成：

graph = [
 [1,1,1],[1,[0,0] #每个1代表一个顶点 1与上下左右的1都有边 与0则没有 长宽相等易于编写代码
]

还可以再简化成一维列表：

graph = [
 '222221','101101','222221','000000'
]

简直机智如我啊！于是我写了个函数对一维列表进行转换：

def get_index(i,j,G):
 num = 0
 for a in xrange(i):
 num += G[a].count('0')
 for b in xrange(j):
 if G[i][b] == '0':
 num += 1
 return i * len(G) + j - num
def get_graph(G):
 G = [list(x) for x in G]
 EG = []
 for i in xrange(len(G)):
 for j in range(len(G[i])):
 if G[i][j] == '0':
 continue
 side_list = []
 if j+1 <= len(G[i]) - 1:
 if G[i][j+1] == '1':
 index = get_index(i,j+1,G)
 side_list.append(index)
 if j-1 >= 0:
 if G[i][j-1] == '1':
 index = get_index(i,j-1,G)
 side_list.append(index)
 if i+1 <= len(G) - 1:
 if G[i+1][j] == '1':
 index = get_index(i+1,G)
 side_list.append(index)
 if i-1 >= 0:
 if G[i-1][j] == '1':
 index = get_index(i-1,G)
 side_list.append(index)
 EG.append(side_list)
 return EG

而算法的实现用图的邻接矩阵则更为方便，因此我写了一个将上列二位列表转换成邻接矩阵形式的函数：

def get_matrix(graph):
 result = [[0]*len(graph) for _ in xrange(len(graph))] # 初始化
 for i in xrange(len(graph)):
 for j in graph[i]:
 result[i][j] = 1 # 有边则为1
 return result

主要的 DFS 算法如下：

# graph为图的邻接矩阵 used为已访问栈 path为路径栈 step为已经遍历的顶点的个数
def dfs(graph,path,used,step):
 if step == len(graph): # 判断顶点是否被遍历完毕
 print path
 return True
 else:
 for i in xrange(len(graph)):
 if not used[i] and graph[path[step-1]][i] == 1:
 used[i] = True
 path[step] = i
 if dfs(graph,step+1):
 return True
 else:
 used[i] = False # 回溯 返回父节点
 path[step] = -1
 return False
def main(graph,v):
 used = [] # 已访问栈
 path = [] # 路径栈
 for i in xrange(len(graph)):
 used.append(False) # 初始化 所有顶点均未被遍历
 path.append(-1) # 初始化 未选中起点及到达任何顶点
 used[v] = True # 表示从起点开始遍历
 path[0] = v # 表示哈密顿通路的第一个顶点为起点
 dfs(graph,1)

完整代码如下：

#! /usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
# Coding with love by Naiquan.
def dfs(graph,step):
 if step == len(graph):
 print path
 return True
 else:
 for i in xrange(len(graph)):
 if not used[i] and graph[path[step-1]][i] == 1:
 used[i] = True
 path[step] = i
 if dfs(graph,step+1):
 return True
 else:
 used[i] = False
 path[step] = -1
 return False
def main(graph,v):
 used = []
 path = []
 for i in xrange(len(graph)):
 used.append(False)
 path.append(-1)
 used[v] = True
 path[0] = v
 dfs(graph,1)
def get_index(i,G)
 side_list.append(index)
 EG.append(side_list)
 return EG
def get_matrix(graph):
 result = [[0]*len(graph) for _ in xrange(len(graph))]
 for i in xrange(len(graph)):
 for j in graph[i]:
 result[i][j] = 1
 return result
if __name__ == '__main__':
 map_list = [
 '222221','000000'
 ]
 G = get_graph(map_list)
 map_matrix = get_matrix(G)
 # print map_matrix
 SP = 14
 main(map_matrix,SP)

结束

在实现了功能后，我拿着这个程序成功过到了差不多一百关，然后就玩腻了，哈哈哈哈哈哈哈哈哈

（编辑：李大同）

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