由Python运算π的值深入Python中科学计算的实现
π是一个无数人追随的真正的神奇数字。我不是很清楚一个永远重复的无理数的迷人之处。在我看来,我乐于计算π,也就是计算π的值。因为π是一个无理数,它是无限的。这就意味着任何对π的计算都仅仅是个近似值。如果你计算100位,我可以计算101位并且更精确。迄今为止,有些人已经选拔出超级计算机来试图计算最精确的π。一些极值包括 计算π的5亿位。你甚至能从网上找到包含 π的一百亿位的文本文件(注意啦!下载这个文件可能得花一会儿时间,并且没法用你平时使用的记事本应用程序打开。)。对于我而言,如何用几行简单的Python来计算π才是我的兴趣所在。 importsys importmath defmain(argv): iflen(argv) !=1: sys.exit('Usage: calc_pi.py <n>') print'nComputing Pi v.01n' a=1.0 b=1.0/math.sqrt(2) t=1.0/4.0 p=1.0 foriinrange(int(sys.argv[1])): at=(a+b)/2 bt=math.sqrt(a*b) tt=t-p*(a-at)**2 pt=2*p a=at;b=bt;t=tt;p=pt my_pi=(a+b)**2/(4*t) accuracy=100*(math.pi-my_pi)/my_pi print"Pi is approximately: "+str(my_pi) print"Accuracy with math.pi: "+str(accuracy) if__name__=="__main__": main(sys.argv[1:]) 这是个非常简单的脚本,你可以下载,运行,修改,和随意分享给别人。你能够看到类似下面的输出结果: 你会发现,尽管 n 大于4,我们逼近 Pi 精度却没有多大的提升。 我们可以猜到即使 n的值更大,同样的事情(pi的逼近精度没有提升)依旧会发生。幸运的是,有不止一种方法来揭开这个谜。使用 Python Decimal (十进制)库,我们可以就可以得到更高精度的值来逼近Pi。让我们来看看库函数是如何使用的。这个简化的版本,可以得到多于11位的数字 通常情况小Python 浮点数给出的精度。下面是Python Decimal 库中的一个例子 : wpid-python_decimal_example-2013-05-28-12-54.png 看到这些数字。不对! 我们输入的仅是 3.14,为什么我们得到了一些垃圾(junk)? 这是内存垃圾(memory junk)。 简单点说,Python给你你想要的十进制数,再加上一点点额外的值。 只要精度小于垃圾数,它不会影响任何计算。通过设置getcontext().prec 你可以的到你想要的位数 。我们试试。 看到这些数字。不对! 我们输入的仅是 3.14,为什么我们得到了一些垃圾(junk)? 这是内存垃圾(memory junk)。 简单点说,Python给你你想要的十进制数,再加上一点点额外的值。 只要精度小于垃圾数,它不会影响任何计算。通过设置getcontext().prec 你可以的到你想要的位数 。我们试试。 很好。 现在让我们 试着用这个 来 看看我们是否能 与我们以前的 代码 有更好的 逼近 。 现在, 我通常 是反对 使用“ from library import * ” , 但在这种情况下, 它会 使代码 看起来更漂亮 。 importsys importmath fromdecimalimport* defmain(argv): iflen(argv) !=1: sys.exit('Usage: calc_pi.py <n>') print'nComputing Pi v.01n' a=Decimal(1.0) b=Decimal(1.0/math.sqrt(2)) t=Decimal(1.0)/Decimal(4.0) p=Decimal(1.0) foriinrange(int(sys.argv[1])): at=Decimal((a+b)/2) bt=Decimal(math.sqrt(a*b)) tt=Decimal(t-p*(a-at)**2) pt=Decimal(2*p) a=at;b=bt;t=tt;p=pt my_pi=(a+b)**2/(4*t) accuracy=100*(Decimal(math.pi)-my_pi)/my_pi print"Pi is approximately: "+str(my_pi) print"Accuracy with math.pi: "+str(accuracy) if__name__=="__main__": main(sys.argv[1:]) 好了。我们更准确了,但看起来似乎有一些舍入。从n = 100和n = 1000,我们有相同的精度。现在怎么办?好吧,现在我们来求助于公式。到目前为止,我们计算Pi的方式是通过对几部分加在一起。我从DAN 的关于Calculating Pi 的文章中发现一些代码。他建议我们用以下3个公式: BaileyCBorweinCPlouffe 公式 让我们从BaileyCBorweinCPlouffe 公式开始。它看起来是这个样子: 在代码中我们可以这样编写它: import sys import math from decimal import * def bbp(n): pi=Decimal(0) k=0 while k < n: pi+=(Decimal(1)/(16**k))*((Decimal(4)/(8*k+1))-(Decimal(2)/(8*k+4))-(Decimal(1)/(8*k+5))-(Decimal(1)/(8*k+6))) k+=1 return pi def main(argv): if len(argv) !=2: sys.exit('Usage: BaileyBorweinPlouffe.py <prec> <n>') getcontext().prec=(int(sys.argv[1])) my_pi=bbp(int(sys.argv[2])) accuracy=100*(Decimal(math.pi)-my_pi)/my_pi print"Pi is approximately "+str(my_pi) print"Accuracy with math.pi: "+str(accuracy) if __name__=="__main__": main(sys.argv[1:]) 这有许多数字位。你可以看出,我们并没有比以前更准确。所以我们需要前进到下一个公式,贝拉公式,希望能获得更好的精度。它看起来像这样: 我们将只改变我们的变换公式,其余的代码将保持不变。点击这里下载Python实现的贝拉公式。让我们看一看bellards(n): def bellard(n): pi=Decimal(0) k=0 while k < n: pi+=(Decimal(-1)**k/(1024**k))*( Decimal(256)/(10*k+1)+Decimal(1)/(10*k+9)-Decimal(64)/(10*k+3)-Decimal(32)/(4*k+1)-Decimal(4)/(10*k+5)-Decimal(4)/(10*k+7)-Decimal(1)/(4*k+3)) k+=1 pi=pi*1/(2**6) return pi 哦,不,我们得到的是同样的精度。好吧,让我们试试第三个公式, Chudnovsky 算法,它看起来是这个样子: 再一次,让我们看一下这个计算公式(假设我们有一个阶乘公式)。 点击这里可下载用 python 实现的 Chudnovsky 公式。 下面是程序和输出结果: def chudnovsky(n): pi=Decimal(0) k=0 while k < n: pi+=(Decimal(-1)**k)*(Decimal(factorial(6*k))/((factorial(k)**3)*(factorial(3*k)))*(13591409+545140134*k)/(640320**(3*k))) k+=1 pi=pi*Decimal(10005).sqrt()/4270934400 pi=pi**(-1) return pi 所以我们有了什么结论?花哨的算法不会使机器浮点世界达到更高标准。我真的很期待能有一个比我们用求和公式时所能得到的更好的精度。我猜那是过分的要求。如果你真的需要用PI,就只需使用math.pi变量了。然而,作为乐趣和测试你的计算机真的能有多快,你总是可以尝试第一个计算出Pi的百万位或者更多位是几。 (编辑:李大同) 【声明】本站内容均来自网络,其相关言论仅代表作者个人观点,不代表本站立场。若无意侵犯到您的权利,请及时与联系站长删除相关内容! |