本文是数据结构基础系列(6)：树和2叉树中第13课时2叉树的构造的例程。
1.由先序序列和中序序列构造2叉树
-
定理：任何n（n≥0）个不同节点的2叉树，都可由它的中序序列和先序序列唯1地肯定。
-
证明（数学归纳法）
基础：当n=0时，2叉树为空，结论正确。
假定：设节点数小于n的任何2叉树，都可以由其先序序列和中序序列唯1地肯定。
归纳：已知某棵2叉树具有n（n＞0）个不同节点，其先序序列是a0a1…an?1；中序序列是b0b1…bk?1bkbk+1…bn?1。
-
先序遍历“根-左-右”，a0一定是2叉树的根节点
-
a0必定在中序序列中出现，设在中序序列中必有某个bk（0≤k≤n?1）就是根节点a0。
-
由于bk是根节点，中序遍历“左-根-右”，故中序序列中b0b1…bk?1必是根节点bk(a0)左子树的中序序列，即bk的左子树有k个节点，bk+1…bn?1必是根节点bk（a0）右子树的中序序列，即bk的右子树有n?k?1个节点。
-
对应先序序列，紧跟在根节点a0以后的k个节点a1…ak是左子树的先序序列，ak+1…an?1这n?k?1就是右子树的先序序列。
-
根据归纳假定，子先序序列a1…ak和子中序序列b0b1…bk?1可以唯1地肯定根节点a0的左子树，而先序序列ak+1…an?1和子中序序列bk+1…bn?1可以唯1地肯定根节点a0的右子树。
-
综上所述，这棵2叉树的根节点己经肯定，而且其左、右子树都唯1地肯定了，所以全部2叉树也就唯1地肯定了。
-
例
根据定理的证明，写出下面的算法。
品味：以上构造性证明是突出体现计算机科学的案例。计算机学科的精华就在于制造，即便在“理论性”味道的定理中，其证明进程，给出的就是“存在的这么1个东西”的构造方法。
［参考解答］（btreee.h见算法库）
#include #include #include "btree.h" BTNode *CreateBT1(char *pre,char *in,int n) {
BTNode *s; char *p; int k; if (n<=0) return NULL;
s=(BTNode *)malloc(sizeof(BTNode)); s->data=*pre; for (p=in; p<in+n; p++) if (*p==*pre) break; k=p-in; s->lchild=CreateBT1(pre+1,in,k); s->rchild=CreateBT1(pre+k+1,p+1,n-k-1); return s;
} int main()
{
ElemType pre[]="ABDGCEF",in[]="DGBAECF";
BTNode *b1;
b1=CreateBT1(pre,7);
printf("b1:");
DispBTNode(b1);
printf("
"); return 0;
}
2.由后序序列和中序序列构造2叉树
-
定理：任何n（n＞0）个不同节点的2叉树，都可由它的中序序列和后序序列唯1地肯定。
-
证明：(略)
［参考解答］（btreee.h见算法库）
#include #include #include "btree.h" BTNode *CreateBT2(char *post,int n) {
BTNode *s; char r,*p; int k; if (n<=0) return NULL;
r=*(post+n-1); s=(BTNode *)malloc(sizeof(BTNode)); s->data=r; for (p=in; p<in+n; p++) if (*p==r) break;
k=p-in; s->lchild=CreateBT2(post,k); s->rchild=CreateBT2(post+k,n-k-1); return s;
} int main()
{
ElemType in[]="DGBAECF",post[]="GDBEFCA";
BTNode *b2;
b2=CreateBT2(post,7);
printf("b2:");
DispBTNode(b2);
printf("
"); return 0;
}
3.由顺序存储结构转为2叉链存储结构
［参考解答］（btreee.h见算法库）
#include #include #include "btree.h" #define N 30 typedef ElemType SqBTree[N];
BTNode *trans(SqBTree a,int i)
{
BTNode *b; if (i>N) return(NULL); if (a[i]==#) return(NULL); b=(BTNode *)malloc(sizeof(BTNode)); b->data=a[i];
b->lchild=trans(a,2*i); b->rchild=trans(a,2*i+1); return(b); } int main()
{
BTNode *b;
ElemType s[]="0ABCD#EF#G####################";
b=trans(s,1); printf("b:");
DispBTNode(b); printf("
"); return 0;
}
