perlin噪声函数

原文链接：http://www.cnblogs.com/mikewolf2009/articles/1608087.html

许多人在他们的程序中使用“随机数产生器”，以使得物体的运动行为更加自然，或者用来生成纹理。随机数产生器在一些情况下很有用，但是它们生成的结果和自然结果相比，往往显得比较粗糙和生硬。这篇文章介绍使用广泛的Perlin函数，它常用在模拟自然物体的地方，比如地形，海水等。

自然物体通常是分形的，有各种各样的层次细节，比如山的轮廓，通过高度区分就有高山(mountain,高度变化大)、山丘(hill，高度变化适中)、巨石(高度变化小)?、石头(高度变化很小)等。另外，比如草地、海浪、跑动的蚂蚁、摇晃的树枝、风、大理石的花纹等等，这些都呈现出了或大或小的细节变化。Perlin噪声函数通过噪声函数来模拟这些自然景观。

要构造一个Perlin函数，你首先需要一个噪声函数和一个插值函数。

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1、?噪声函数

噪声函数本质上就是一个基于种子的随机数产生器。输入参数为一个整数，输出结果为基于输入参数的随机数。如果你两次输入同样的参数，则结果都是一样的。

左上图是一个噪声函数例子，它的输出值范围是[0,1]，分布范围在x轴上。右上图是通过光滑插值函数处理后的结果。

在进一步学习Perlin函数之前，我们先看一些定义，其实这些都是高中物理的概念，很简单。比如上图的正弦波，波长(Wavelength)就是两个波谷指尖的距离，频率就是1/Wavelength,波幅(Amplitude)就是波的高度。

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2、?创建Perlin噪音函数

假如现在你有各种各样不同频率和幅度的光滑函数(smooth function)，把他们组合在一起，就能产生一个比较好的Perlin噪声函数。

??????????

组合在一起后的效果如下图，是不是很类似山的形状，确实很多3d程序中的地形就是利用2维的噪声函数。

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下面我们看看单个2维光滑函数，组合在一起形成的2维噪声函数：

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下面是各个函数组合在一起的效果：

我们现在比较关注，把这些噪声函数叠加在一起时候，如何选择他们的频率和幅度？在上面一维的例子中，后面的每个函数的频率是前面的2倍，幅度是前面1/2,通常是这样来做，你也可以自己尝试其它的频率和幅度的组合，看看效果如何，比如对于小山丘，你可以使用大幅度低频率以及小幅度高频率，看看生成的山丘又何不同，甚至你可以用地频率低幅度生成岩石表面。

通常定义Persistence为幅度/频率，这是分形几何的发明人Mandelbrot创造的。Matt也定义Persistence的概念，而且更加直观，它的定义如下：

frequency = 2i

amplitude = persistencei

?

i表示增加的第i个噪声函数，下面的图很好的解释了这个概念：

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?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

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?

?

?

?

?

?

?

?

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?

Octaves(倍频函数):

我们增加的函数称作octave函数.，主要是因为后面的每个函数都是前面函数频率的2倍。增加octave函数的数量取决于你。这儿我给的建议是：如果你用Perlin函数渲染图形图像，记住太高的频率可能不能显示，因为屏幕像素已经不能表示这些细节。一些Perlin噪音函数的实现可以根据屏幕限制，自动调节octave函数的数量。另外，当幅度太小时，也要停止增加octave函数。

?

下面我们看一个简单的噪音函数（一个随机数产生器）的代码，它返回浮点数[-1,1]

 
 

  
  

function?IntNoise(32-bit?integer:?x)??????????????????
?
????x?=?(x<<13)?^?x;
????return?(?1.0?-?(?(x?*?(x?*?x?*?15731?+?789221)?+?1376312589)?&?7fffffff)?/?1073741824.0);????
?
?end?IntNoise?function

 
 
如果我们需要几个不同的随机数产生器的时候，可以选用稍微有点差别的种子（一般为素数）。

下面看看插值函数，最简单的插值函数是线性插值函数：其中x是[0,1]，可以看到，线性插值生成的曲线都是分段的直线。

 
 

  
  function?Linear_Interpolate(a,?b,?x)
????????
  
  return
  
  ?a
  
  *
  
  (
  
  1
  
  -
  
  x)?
  
  +
  
  ?b
  
  *
  
  x
?end?of?function

 
 
?

?

Cosine插值函数：

相对来讲，它插值的结果比较光滑。

?

 
 

  
  function?Cosine_Interpolate(a,?x)
????????ft?
  
  =
  
  ?x?
  
  *
  
  ?
  
  3.1415927
  
  
????????f?
  
  =
  
  ?(
  
  1
  
  ?
  
  -
  
  ?cos(ft))?
  
  *
  
  ?.
  
  5
  
  
?
????????
  
  return
  
  ?a
  
  *
  
  (
  
  1
  
  -
  
  f)?
  
  +
  
  ?b
  
  *
  
  f
?end?of?function

 
 
Cubic插值：

三次插值产生的曲线很光滑，但是要以牺牲速度为代价。该函数接收5个参数，四个顶点数据，一个x值，

v0 = the point before a

v1 = the point a

v2 = the point b

v3 = the point after b

?

?

 
 

  
  

function?Cubic_Interpolate(v0,?v1,?v2,?v3,x)
????????P?=?(v3?-?v2)?-?(v0?-?v1)
????????Q?=?(v0?-?v1)?-?P
????????R?=?v2?-?v0
????????S?=?v1
?
????????return?Px3?+?Qx2?+?Rx?+?S
?end?of?function

 
 
对噪音结果可以通过mean值滤波的方式来处理，处理后的结果会更光滑：

?

1维的光滑函数：

 
 

  
  
 
   
 
  
  
  function?Noise(x)
????.
????.
?end?function
?
?function?SmoothNoise_1D(x)
?
????
  
  return
  
  ?Noise(x)
  
  /
  
  2
  
  ?
  
  +
  
  ?Noise(x
  
  -
  
  1
  
  )
  
  /
  
  4
  
  ?
  
  +
  
  ?Noise(x
  
  +
  
  1
  
  )
  
  /
  
  4
  
  
?
?end?function

  
  
 
   
 
  
 
 
2维的光滑函数：

?

3、?最终的Perlin噪声函数

Perlin噪声函数主要是通过一个循环，每个循环迭代增加一个2倍频率的octave函数，每次迭代调用不同的噪声函数Noise_.

?1维Perlin函数的伪代码：

?

?

?2维的Perlin函数代码：

?
 
 

  
  
 function?Noise1(integer?x,?integer?y) ????n?=?x?+?y?*?57 ????n?=?(n<<13)?^?n; ????return?(?1.0?-?(?(n?*?(n?*?n?*?15731?+?789221)?+?1376312589)?&?7fffffff)?/?1073741824.0);???? ??end?function ??function?SmoothNoise_1(float?x,?float?y) ????corners?=?(?Noise(x-1,?y+1)?)?/?16 ????sides???=?(?Noise(x-1,?y)??+Noise(x+1,?y)??+Noise(x,?y-1)??+Noise(x,?y+1)?)?/??8 ????center??=??Noise(x,?y)?/?4 ????return?corners?+?sides?+?center ??end?function ??function?InterpolatedNoise_1(float?x,?float?y) ??????integer_X????=?int(x) ??????fractional_X?=?x?-?integer_X ??????integer_Y????=?int(y) ??????fractional_Y?=?y?-?integer_Y ??????v1?=?SmoothedNoise1(integer_X,?????integer_Y) ??????v2?=?SmoothedNoise1(integer_X?+?1,?integer_Y) ??????v3?=?SmoothedNoise1(integer_X,?????integer_Y?+?1) ??????v4?=?SmoothedNoise1(integer_X?+?1,?integer_Y?+?1) ??????i1?=?Interpolate(v1?,?fractional_X) ??????i2?=?Interpolate(v3?,?v4?,?fractional_X) ??????return?Interpolate(i1?,?i2?,?fractional_Y) ??end?function ??function?PerlinNoise_2D(float?x,?float?y) ??????total?=?0 ??????p?=?persistence ??????n?=?Number_Of_Octaves?-?1 ??????loop?i?from?0?to?n ??????????frequency?=?2i ??????????amplitude?=?pi ??????????total?=?total?+?InterpolatedNoisei(x?*?frequency,?y?*?frequency)?*?amplitude ??????end?of?i?loop ??????return?total ??end?function