Miller-Rabin素性测试

先挂个m67的博客保平安

众所周知，我们可以在(O(sqrt{n}))的时间能准确判断一个数是否为质数，但是在很多情境下我们需要快速判断一个(10^{18})级别的数是否为质数，这个时候朴素的做法就行不通了

这个时候就需要使用(rm Miller-Rabin)了

主要用到两个定理

• 费马小定理：对于小于质数(p)的正整数(a)存在(a^{p-1}equiv 1(mod p))

• 二次探测：对于(x^2equiv 1(mod p))，当(p)为质数时，(x=1)或(p-1)

现在对于一个待检测的数(n)，我们先搞一个比它小的底数(a)，先求一下(a^{n-1}(mod n))的值，如果不等于1，我们可以断定这个数不是质数。但是当(a^{n-1}equiv 1(mod n))的时候，由于费马小定理的逆命题并不成立，所以我们无法断言(n)就是一个素数

这个时候就需要用到二次探测了，由于(a^{n-1}equiv 1(mod n))，如果(n)为素数，(a^{frac{n-1}{2}}equiv 1)或(n-1)；如果(frac{n-1}{2})是个偶数并且(a^{frac{n-1}{2}}equiv 1(mod n))，那么我们使得(n=frac{n-1}{4})继续进行二次探测；如果(frac{n-1}{2})是个奇数或(a^{frac{n-1}{2}}equiv n-1(mod n))，我们就不能继续探测，可以暂时认为(n)是一个素数

选择一个底数可能并不能准确判断，于是多选几个底数试试即可

抄的慎老师的板子

const int mb[]={2,3,5,7,61,709,2003};
inline LL mul(LL a,LL b,LL P) {
    LL S=0;if(b>a) std::swap(a,b);
    for(;b;b>>=1ll,a=(a+a)%P) if(b&1ll) S=(S+a)%P;
    return S;
}
inline LL ksm(LL a,LL P) {
    LL S=1;
    for(;b;b>>=1ll,a=mul(a,a,P)) if(b&1ll) S=mul(S,P);
    return S;
}
int chk(LL x,LL p,LL y) {
    LL t=ksm(x,y,p);
    if(t!=1&&t!=p-1) return 0;
    if(t==p-1) return 1;
    if(t==1&&(y%2)) return 1;
    return chk(x,p,y>>1ll);
}
inline int mr(LL n) {
    if(n<=1) return 0;
    for(re int i=0;i<7;++i) if(n==mb[i]) return 1;
    for(re int i=0;i<7;++i) if(!chk(mb[i],n,n-1)) return 0;
    return 1; 
}