[模板] 2-SAT 问题

简介

2-SAT (2-satisfiability) 问题形如:

1. 给定一些变量 (x_i in {true,false});
   
2. 给定一些一元/二元约束条件,如 (x_i land lnot x_j),利用 (land) 连接;
3. 为每一个变量赋一个值,满足所有约束条件.

将第2条改为n元约束条件,即为 N-SAT 问题.

可以证明 N-SAT 问题没有多项式解法,但 2-SAT 问题有 (O(n + m)) 的解法.

算法

对每个变量建立两个点: (x_i),(x_i'),表示取真或假.

根据约束条件建立若干条边 ((p,q)),表示若选 (p) 则必须选 (q). (见下)

将得到的图缩点. 若 (x_i) 和 (x_i') 在同一个强连通分量内,则无解.

否则,若 (x_i) 的所在强连通分量的拓扑序大于 (x_i'),则选 (x_i); 否则选 (x_i').

我们知道tarjan算法求出的强连通分量标号为强连通分量拓扑序的逆序. 因此判断 (scc_{x_i} < scc_{x_i'}) 即可.

建边

1. 一元逻辑
   1. (p): ((p',p));
   2. (lnot p): ((p,p')).
2. 二元逻辑 ((p) 和 (lnot p) 是一样的,下面仅描述 (p) 的情况)
   1. (p rightarrow q): ((p,((q',p'));
   2. (p land q): 等价于 (p),(q);
   3. (p lor q): ((p',p)) (等价于 (lnot p rightarrow q));
   4. (p oplus q): ((p,q')),((p',((q,p')),p)). (xor)

容易发现所有二元逻辑都会建立若干对边,这称作2-SAT问题的对称性,是算法正确的关键.

代码

int chos[nsz];
int dfn[nsz*2],pd=0,low[nsz*2],inscc[nsz*2],ps=0;
int stk[nsz*2],top=0,vi[nsz*2];
void tarj(int p){
    dfn[p]=low[p]=++pd;
    stk[++top]=p,vi[p]=1;
    for(auto v:edge[p]){
        if(dfn[v]==0){
            tarj(v);
            low[p]=min(low[p],low[v]);
        }
        else if(vi[v])low[p]=min(low[p],dfn[v]);
    }
    if(low[p]==dfn[p]){//scc
        ++ps;
        int v;
        do{
            v=stk[top];
            inscc[v]=ps,vi[v]=0,--top;
        }while(v!=p);
    }
}

bool sat2(){//toefl ielts sat
    rep(i,2,n*2+1)if(dfn[i]==0)tarj(i);
    rep(i,1,n){
        if(inscc[i<<1]==inscc[i<<1|1])return 0;//no solution
        chos[i]=inscc[i<<1|1]<inscc[i<<1];
    }
    return 1;
}