排列与组合公式
加法原理和乘法原理
加法公式
对任意两个事件A、B有:
[ P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) ]
例题
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设有一批产品共100件,其中5件是次品,任取3件,求:至少有一件是次品的概率。
答:设A={任取三件至少有一件是次品}
法一:(B_i)={任取三件恰好有i件次品},则:
[ begin{split} P(A)=P(B_1cup B_2cup B_3)&=P(B_1)+P(B_2)+P(B_3)&;=frac{C_5^1C_{95}^2}{C_{100}^3}+frac{C_5^2C_{95}^1}{C_{100}^3}+frac{C_5^3C_{95}^0}{C_{100}^3}&;=0.144 end{split} ]
法二:设(bar{A})表示任取三件全是正品,而:
[ P(bar{A})=frac{C_{95}^{3}}{C_{100}^3}approx 0.856 ]
则:
[ P(A)=1-P(bar{A})approx 1-0.856=0.144 ]
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袋中有红、黄、白色球各一个,每次任取一只,有放回地抽三次,求:
(1)颜色全同的概率;
(2)至少一只红球;
(3)取到的三个球里没有红球或没有黄球
答:基本事件总数为(3^3)
(1)
[ P(颜色全同)=frac{C_3^1}{3^3}=frac{3}{3^3}=frac{1}{9} ]
(2)
[ P(无红)=frac{2^3}{3^3}=frac{8}{27}P(至少一个红球)=1-frac{8}{27}=frac{19}{27} ]
(3)
[ begin{split} P(无红或无黄)&=P(无红+无黄)&;=P(无红)+P(无黄)-P(无红且无黄)&;=frac{8}{27}+frac{8}{27}-frac{1^3}{3^3}&;=frac{5}{9} end{split} ]
条件概率
实际生活中:已知某人艾滋检查为阳性,求他患艾滋的概率;在摸奖中已知第一人已经或未摸到一等奖,求第二个人摸到一等奖的概率;人寿保险常常会考虑:已知某人已经活了x岁,求他还能再活y岁的概率。
设A、B是两个事件,且P(A)>0,称:
[ P(B|A)=frac{P(AB)}{P(A)} ]
概率P(B|A)与P(AB)的区别与联系
- 联系:事件A、B都发生了
- 区别:
- 在P(B|A)中,事件A先发生B后发生;在P(AB)中,事件A、B同时发生。
- 样本空间不同,在P(B|A)中,事件A成为样本空间;在P(AB)中,样本空间仍为(Omega)。
例题
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袋中有10个球,其中3个黑球7个白球,依次从袋中不放回取两球。已知第一次取出的是黑球,试求:第二次取出的仍是黑球的概率。
答:设(A_i)={第i次取得黑球}(i=1,2)
[ P(A_1)=frac{3}{10}, P(A_1A_2)=frac{3×2}{10×9}=frac{1}{15} ]
则:
[ P(A_2|A_1)=frac{P(A_1A_2)}{P(A_1)}=frac{2}{9} ]
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恰有两个小孩的家庭,若已知某一家有男孩,求这家有两个男孩的概率;若已知某家第一个是男孩,求这家第二个也是男孩的概率。
答:
[ P(有男孩)=1-frac{1}{2}×frac{1}{2}=1-frac{1}{4}=frac{3}{4}P(有两个男孩)=frac{1}{2}×frac{1}{2}=frac{1}{4}P(有两个男孩|有男孩)=frac{frac{1}{4}}{frac{3}{4}}=frac{1}{3}P(第一个是男孩)=frac{1}{2}P(第二个也是男孩|第一个是男孩)=P(有两个男孩|第一个是男孩)=frac{frac{1}{4}}{frac{1}{2}}=frac{1}{2} ]
乘法公式
设P(A)>0,则有(P(AB)=P(B|A)P(A))。一般地,若(A_1,A_2,...,A_n)是n个是事件,且(P(A_1A_2...A_{n-1})>0),则由归纳法可得:
[ P(A_1A_2...A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)...P(A_n|A_1A_2...A_{n-1}) ]
例题
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关于某产品的检验方案为:从100件中任取1件,无放回,如为次品,认为不合格;如为正品,再抽一件;如此连续至多4次,若连续抽取4件正品,则认为这批产品合格。现假定这批产品中5%是次品,求:产品被拒收的概率。
答:设A={产品被拒收},(B_i)={第i次抽得正品},i={1,2,3,4}
则(bar{A}=B_1B_2B_3B_4)
因此
[ begin{split} P(A)=1-P(bar{A})&=1-P(B_1B_2B_3B_4)&;=1-P(B_1)P(B_2|B_1)P(B_3|B_1B_2)P(B_4|B_1B_2B_3)&;=1-frac{95}{100}frac{94}{99}frac{93}{98}frac{92}{97}=0.188 end{split} ]
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据以往资料,某一三口之家,患某种传染病的概率有以下特点:
P(孩子得病)=0.6,P(母亲得病|孩子得病)=0.5,P(父亲得病|母亲及孩子得病)=0.4
求:母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。
答:设A={孩子得病},B={母亲得病},C={父亲得病},则:
[ P(A)=0.6, P(B|A)=0.5, P(C|AB)=0.4 ]
[ begin{split} P(ABbar{C})&=P(bar{C}|AB)P(B|A)P(A)&;=(1-0.4)×0.5×0.6&;=0.6×0.5×0.6&;=0.18 end{split} ]