UVa 11346 Probability (积分)

题目

题目大意

在([-a,a] × [-b,b])区域内随机取一个点(P),求以((0,0))和(P)为对角线的长方形面积大于(S)的概率((a,b > 0),(S ≥ 0))。例如(a = 10),(b = 5),(S = 20),答案为(23.35%)。

题解

根据对称性,只需要考虑([0,a] × [0,b])区域取点即可。设点的横纵坐标为(x),(y),面积大于(S),即(xy > S)。(xy = S)是一条双曲线,所求概率就是([0,b])中处于双曲线上面的部分。为了方便,求双曲线下面的面积,然后用总面积来减。

设双曲线和区域([0,b])左边交点的坐标为((frac{S}{b},b)),因此积分就是:

[S + Sint_{frac{S}{b}}^{a}frac{1}{x}dx]

根据高中所学数学知识,得到(frac{1}{x})的原函数是(ln x),因此积分部分就是(ln a - ln frac{S}{b} = ln frac{ab}{S})。设面积为(m),则答案为(m - S - frac{S ln frac{m}{S}}{m})。

得到以上答案的前提是双曲线与所求区域相交,如果(S > ab),则概率应为(0); 而如果(S)太接近(0),概率应直接返回(1),否则计算会出错。

代码

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
int main(int argc,char const *argv[]) {
  register int cases;
  register double a,b,s;
  scanf("%d",&cases);
  while (cases--) {
    scanf("%lf %lf %lf",&a,&b,&s);
    register double r = std::min(s / b,a);
    register double ans = r * b + log(a) * s;
    if (fabs(s) > 1e-9) ans = ans - log(r) * s;
    register double p = 1 - ans / (a * b);
    printf("%.6lf%%n",fabs(p * 100));
  }
  return 0;
}