算法-----龙格-库塔法(转)
?
算法-----龙格-库塔法(转)
分类:?算法
2012-06-06 15:12?
997人阅读?
评论(0)?
收藏?
举报
算法
框架
工具
bi
hp
c
目录(?)[+]
数值分析中,龙格-库塔法(Runge-Kutta)是用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。这些技术由数学家卡尔·龙格和马丁·威尔海姆·库塔于1900年左右发明。
龙格库塔法的家族中的一个成员如此常用,以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格库塔法”。该方法主要是在已知方程导数和初值信息,利用计算机仿真时应用,省去求解微分方程的复杂过程。经典四阶龙格库塔法 令初值问题表述如下。 则,对于该问题的RK4由如下方程给出: 其中 这样,下一个值(yn+1)由现在的值(yn)加上时间间隔(h)和一个估算的斜率的乘积决定。该斜率是以下斜率的加权平均: RK4法是四阶方法,也就是说每步的误差是h5阶,而总积累误差为h4阶。 显式龙格库塔法显式龙格-库塔法是上述RK4法的一个推广。它由下式给出 其中 (注意:上述方程在不同著述中由不同但却等价的定义)。 要给定一个特定的方法,必须提供整数s?(级数),以及系数?aij?(对于1 ≤?j?<?i?≤s),?bi?(对于i?= 1,2,...,?s)和ci?(对于i?= 2,3,?s)。这些数据通常排列在一个助记工具中,称为龙格库塔表:
龙格库塔法是自洽的,如果 如果要求方法有精度p则还有相应的条件,也就是要求舍入误差为O(hp+1)时的条件。这些可以从舍入误差本身的定义中导出。例如,一个2级2阶方法要求b1?+?b2?= 1,?b2c2?= 1/2,以及b2a21?= 1/2。 例子RK4法处于这个框架之内。其表为:
然而,最简单的龙格-库塔法是(更早发现的) 欧拉方法,如果给定公式。这是唯一自洽的一级显式龙格库塔方法。相应的表为:
(编辑:李大同) 【声明】本站内容均来自网络,其相关言论仅代表作者个人观点,不代表本站立场。若无意侵犯到您的权利,请及时与联系站长删除相关内容! |