大数的加减乘除、取对数、求次方、进制转换、三角函数的原理

首先我们这里考虑的大数除法是除数是不大于被除数的情况,如果除数大于被除数的除法,请先把被除数扩大N倍,然后再进行下面的运算,最后在结果里移动小数点即可.例如3/600,我们可以用30000/600=50,对结果向左移动4(3变成30000相当于3*10^4)个小数点就变成0.005

1、除数的位数不大于9时(代表大数的数组个数为1),被除数按高位依次对除数做除法,注意余数要加到下一次计算当中去.这个很简单

2、如果除数位数大于9位时(代表大数数组个数大于1),为了加快运算速度,把除数的位数扩大,扩大的其位数刚好为n*9位为止,扩大的同时注意被除数是否需要扩大,这个自己考虑即可,例如除数为1234567891,扩大后变成123456789|100000000.

2.1、假如除数的最高的9位数(数组的最后一个数据)为D,则用被除数除以(D+1),如例子的(123456789+1)得到一个商,然后用这个商乘以我们的除数,用被除数减去这个乘积得到一个余数,判断余数是否小于除数,小于就循环2.1的操作,最后把所有的商加起来即得结果(只要我们的商越接近我们的真实商,我们计算的成本也越小,所以我们选择除以D+1,而不是除以D+2或D+3……).

2.2这里需要注意的一个问题是:上面原理其实是试商法,但是试商的时候怎么才能达到最佳状态,其实也就是上面第2点说的扩大除数位数的问题.在上面的2.1里为什么我们除的是D+1而不是D或者D+2.我们假如设被除数为A,除数为B,因为B>D,所以A/D>A/B>A/(D+1)注意这里的D+1代表的是D最低位+1,如果是除以D的话就无法进行2.1的循环求值,而是D+2的话,其速度没有D+1那么快

看VB.NET源代码:大数除法

2、求余

其实上面的除法已经可以求余了。但是对于a^b%c这种情形的求余,建议使用大数求余这种方法

五、大数运算

大数加、减、乘、除、余数、公倍数、公约数、进制转换目录

六、大数取自然对数的算法,即我们如何快速算log(x)这类问题

(1)假设大数很大

其实这个问题很简单,先求大数以10为底取对数,然后在结果乘以Log(10)即得我们想要的结果.为什么是以10为底而不是其它值,因为以10为底只是移动小数点的问题,这个用计算机来实现很简单.这里需要理解的是log10(123456789.123456789)与log10(123456789.123456789123456)、log10(123456789.1234567894654564654)、log10(123456789.1234567893456343453453353453534534534535345)……这些结果几乎是一样的

具体步骤:

首先,比如A为一个大数,注意A可以是小数,但必须大于0,求log(A)时,先把A分成2部分A1与A2,其中A1代表A的整数部分,A2代表A的小数部分.

然后,我们先判断A1的长度：

1、如果A1长度小于18位,则我们直接返回VB.NET提供给我们的数学函数进行运算,即Math.Log(CDbl(A))即得我们的结果.

2、A1的长度大于17位时,我们利用移位操作计算Log10(A)的值.这里我们设A1的长度为n,则我们取A1的后n-9位数据加到A2上面去,A1本身只要A1其前9个数据,即A2=Mid(A1,10,n-9),A1=Mid(A1,1,9)那么大数的Log10(A)=n-9+Math.Log10(CDbl(A1+"."+A2));那么最后Log(A)=Log10(A)*Log(10)

(2)假设大数很小

这个原理和(1)的原理差不多,(1)是把小数点移位数相加,这里是相减即可.例如Log(0.000000000000000000000000000000123)等于多少的问题,那么我们求解的算法是Log(0.000000000000000000000000000000123)=log(10)*(log10(123)-33)=-71.173123713431

其实根据上面的方法,要算任意数为底的取大数的对数，方法就很简单了.需要注意的是,这样得到的结果只是近似值,而非准确值。

看VB.NE源代码:大数取对数

(3)参看另一种理论上可以精确到任意位数的取对数算法.

《大数求自然对数数值算法》

七、大数求任意次方

7.1:任意次方的n可为实数的时候

很多人写大数求n次方的n,不是限制n是自然数,就是限制n是整数,那我们有没有办法让n是小数呢？如对一个大数开平方,则n为0.5这类问题的求解.

我们这里只讨论大数进行正数次方的时候的情形,对n是负数我想只要把n是正数的问题解决了,n是负数很简单了吧.这个留给你们自己思考！还有这里的大数是整数,请看文章开头的1、2点,有小数的情形是很容易解决的,这里不再多说.

原理:

1、设大数为a,我们这里求a^n的值,我们把n分解成n=n1+n2,n1是n的整数部分,n2是n的小数部分;例子n=12.368则n1=12,n2=0.368

2、则a^n=a^n1*a^n2,这个地方a^n1是很容易求到的(求大数的整数次方),这里不再多说,即我们现在的问题是如何求a^n2的值

3、根据公式a^n2=10^[log10(a^n2)]=10^[n2*log10(a)];这里设b=log10(a),根据上面的第六点,b是很容易求到的.即我们现在有a^n2=10^(n2*b),由大多数情况下n2*b的值都在我们的Double类型的可控范围之下,这里我们直接利用VB.NET提供给我们的函数Math.Pow(10,n2*b)即可得到a^n2的值,最后把a^n2的值带回第2点即可得到我们想要的解.

4、需要说明一点的是,这种算法算然简单,速度快,但它是一种取近似的算法,即结果一般只能保证前面几位数的准确性

看下面的一个编程计算的结果

1234567893698521477412369851.23698547123695^0.5=35136418339074.3

然而35136418339074.3^2=1234567893698436790686180920.49

当然如果是计算整数次方,结果想多精确就会多精确.

5、当然,在上面第3点的a^n2的数据的处理中,我们可以直接截取a的值来获得一个近似值b(b≈a^n2).例如a=123456789123456789123456789，则我们把a≈123456789×10^18来求解,则a^n2≈123456789^n2×10^(18×n2)后面的式子在VB.NET里很容易就可以用其提供的数学函数进行运算.然后把a^n2的值带回第2点即可得到我们想要的解.

看VB.NET源代码:大数求任意次方

八、10进制大数与16进制大数互转的问题

1、10进制大数转16进制大数.

例如请把10进制的数据1234562345234545436545345664346564346346.1223154232155234465234423142233142341转换成16进制表示的数据(结果保留到小数点后90位其值大概是3A0C80F136A7DB8944217AAAEE1E041EA.1F50104681CF7E8CF40104C5A256682E58027824EEAE83546D9966732FFA04FBABB48F85DB4CFBF9BFA74B0081E).假如我们把上面的数据表示成A.B,A表示10进制数据的整数部分(如上面小数点前的数据A=1234562345234545436545345664346564346346),B表示10进制的小数部分(如上面小数点后的数据B=1223154232155234465234423142233142341).

(1)、10进制转16进制对于整数部分A就是辗转相除法,我们一般的方法都是除16来一位一位的获取,我们这里由于是大数的运算,我们除的是16^7(我们这里为什么用16^7,请仔细想一下,注意16^7=268435456),然后对每次除得到的余数代表的是7位的16进制数据.

(2)、10进制转16进制小数部分B是不停的乘16,通过进位来一位一位的得到小数点后的数据,我们不这样干,同样,我们每次乘16^7,也就是说每乘1次必定产生7位小数点后的数据,这个数据可以通过比较B乘之前的位数与乘得的结果的位数来截取那些位,进而转换成16进制数据.

(3)、对于上面的(1)(2)点注意不足7位时高位补0的问题.

看VB.NET源代码:10进制转16进制

2、16进制大数转10进制大数

和10进制转16进制一样,这个也得把16进制分成整数部分与小数部分.

(1)对于整数部分的转换.

把16进制从低位到高位每7位划分为一个区域,对每个区域转换成10进制(这个很容易就可以办到),然后从最低区域开始每个乘16^7,每上升一个区域均多乘一次16^7,这样最后把每个区域的值用大数加法加起来即得我们想要的结果.注意,当中如何尽量少的进行乘法的运算,这里不再多说.

(2)对于小数部分的转换.

在大数运算中,尽量避免除法运算是一种较好的选择.本方法就只需要进行一次除法即得我们想要的结果.假如我们的小数部分为B,这里注意,请把B变成位数为7n的数据.例如B=1234567FE那么变换后成为B=1234567FE00000,小数点后数据末尾添加0不影响数值大小.那么按照第(1)点对于整数部分的转换,假如把B转换成了一个大整数BB,那么我们这个时候小数部分的精确值=BB/(16^7)^n,现在再利用大数精确的除法来获得我们想要的结果是轻而易举的事情.

3、同样的道理,如果10进制与2、8、32进制进行转换时,先把2、8、32转换成16进制,然后再通过16进制与10进制的转换方法获得转换结果,最后再代入相应的结果里面即可.2、8、32进制与16进制的转换是不会丢失数据的转换关系,其转换方法非常简单,这里不再多说.

九、求高精度的三角函数sin、cos、tan、cot、asin、acos、atan、acot

通过上面的我们已经可以对任意数据的，进行常规的加、减、乘、除、次方、取对数,那么求双曲函数已经不成问题,在我们常见的数学运算当中,就只剩下sin与cos函数了,其它的三角函数可以由他们推出来,即我们这里主要讨论大数级别的正弦函数与余弦函数的求解。

原理:《求任意精度的正弦函数值》、《求任意精度的余弦函数值》、《高精度求反正弦、反余弦、反正切、反余切数值算法》

十、求高精度(反)双曲函数值sinh、cosh、tanh、coth、asinh、acosh、atanh、acoth

详情:《大数级别(反)双曲函数计算》

总结:上面的文字写得有点乱,但是总算把大数在初等数学领域内的计算问题解决.剩下的事情就是查找更好的算法了.在这里拭目以待吧！