HDU 1402 FFT 求 大数乘法

这题的数据量是5w， 也就是传统意义上的n^2算法是不可取的。这里就用到了FFT

FFT一般的作用就是使得多项式乘法的复杂度降到nlogn。利用FFT可以快速求出循环卷积。

那么卷积又是什么样一个东西。

----------------------------------------以下内容转自http://blog.sina.com.cn/s/blog_6733026501019ubf.html--------------------

信号处理中的一个重要运算是卷积.初学卷积的时候,往往是在连续的情形,
　　两个函数f(x),g(x)的卷积,是∫f(u)g(x-u)du
　　当然，证明卷积的一些性质并不困难，比如交换，结合等等，但是对于卷积运算的来处，初学者就不甚了了。
　　
　　其实，从离散的情形看卷积，或许更加清楚，
　　对于两个序列f[n],g[n],一般可以将其卷积定义为s[x]= ∑f[k]g[x-k]
　　
　　卷积的一个典型例子,其实就是初中就学过的多项式相乘的运算,
　　比如(x*x+3*x+2)(2*x+5)
　　一般计算顺序是这样,
　　(x*x+3*x+2)(2*x+5)
　　= (x*x+3*x+2)*2*x+(x*x+3*x+2)*5
　　= 2*x*x*x+3*2*x*x+2*2*x+ 5*x*x+3*5*x+10
　　然后合并同类项的系数,
　　2 x*x*x
　　3*2+1*5 x*x
　　2*2+3*5 x
　　2*5
　　----------
　　2*x*x*x+11*x*x+19*x+10
　　
　　实际上,从线性代数可以知道,多项式构成一个向量空间,其基底可选为
　　{1,x,x*x,x*x*x,...}
　　如此,则任何多项式均可与无穷维空间中的一个坐标向量相对应,
　　如,(x*x+3*x+2)对应于
　　(1 3 2),
　　(2*x+5)对应于
　　(2,5).
　　
　　线性空间中没有定义两个向量间的卷积运算,而只有加法,数乘两种运算,而实际上,多项式的乘法,就无法在线性空间中说明.可见线性空间的理论多么局限了.
　　但如果按照我们上面对向量卷积的定义来处理坐标向量,
　　(1 3 2)*(2 5)
　　则有
　　2 3 1
　　_ _ 2 5
　　--------
　　 ? ?2
　　
　　
　　2 3 1
　　_ 2 5
　　-----
　　 ?6+5=11
　　
　　2 3 1
　　2 5
　　-----
　　4+15 =19
　　
　　
　　_ 2 3 1
　　2 5
　　-------
　　 ?10
　　
　　 或者说,
　　(1 3 2)*(2 5)=(2 11 19 10)
　　
　　回到多项式的表示上来,
　　(x*x+3*x+2)(2*x+5)= 2*x*x*x+11*x*x+19*x+10
　　
　　似乎很神奇,结果跟我们用传统办法得到的是完全一样的.
　　换句话,多项式相乘,相当于系数向量的卷积.
　　
　　其实,琢磨一下,道理也很简单,
　　卷积运算实际上是分别求 x*x*x,1的系数，也就是说，他把加法和求和杂合在一起做了。(传统的办法是先做乘法，然后在合并同类项的时候才作加法)
　　以x*x的系数为例，得到x*x，或者是用x*x乘5，或者是用3x乘2x,也就是
　　2 3 1
　　_ 2 5
　　-----
　　 6+5=11
　　其实,这正是向量的内积.如此则,卷积运算,可以看作是一串内积运算.既然是一串内积运算，则我们可以试图用矩阵表示上述过程。
　　
　　[ 2 3 1 0 0 0]
　　[ 0 2 3 1 0 0]==A
　　[ 0 0 2 3 1 0]
　　[ 0 0 0 2 3 1]
　　
　　[0 0 2 5 0 0]' == x
　　
　　b= Ax=[ 2 11 19 10]'
　　
　　采用行的观点看Ax,则b的每行都是一个内积。
　　A的每一行都是序列[2 3 1]的一个移动位置。
　　
　　---------
　　
　　显然,在这个特定的背景下,我们知道,卷积满足交换,结合等定律,因为,众所周知的,多项式的乘法满足交换律,结合律.在一般情形下,其实也成立.
　　
　　在这里,我们发现多项式,除了构成特定的线性空间外,基与基之间还存在某种特殊的联系,正是这种联系,给予多项式空间以特殊的性质.
　　
　　在学向量的时候，一般都会举这个例子，甲有三个苹果，5个橘子，乙有5个苹果，三个橘子，则共有几个苹果，橘子。老师反复告诫，橘子就是橘子，苹果就是苹果，可不能混在一起。所以有(3,5)+(5,3)=(8,8).是的，橘子和苹果无论怎么加，都不会出什么问题的，但是，如果考虑橘子乘橘子，或者橘子乘苹果，这问题就不大容易说清了。
　　
　　又如复数,如果仅仅定义复数为数对（a,b),仅仅在线性空间的层面看待C2,那就未免太简单了。实际上，只要加上一条(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)
　　则情况马上改观，复变函数的内容多么丰富多彩，是众所周知的。
　　
　　另外，回想信号处理里面的一条基本定理,频率域的乘积,相当于时域或空域信号的卷积.恰好跟这里的情形完全对等.这后面存在什么样的隐态联系,需要继续参详.
　　
　　从这里看,高等的卷积运算其实不过是一种初等的运算的抽象而已.中学学过的数学里面，其实还蕴涵着许多高深的内容（比如交换代数）。温故而知新,斯言不谬.
　　
　　其实这道理一点也不复杂，人类繁衍了多少万年了，但过去n多年，人们只知道男女媾精，乃能繁衍后代。精子，卵子的发现，生殖机制的研究，也就是最近多少年的事情。
　　
　　孔子说，道在人伦日用中，看来我们应该多用审视的眼光看待周围，乃至自身，才能知其然，而知其所以然。

----------------------------------------------------------完毕------------------------------

然后我们就知道卷积大概的作用了。

那么FFT本来是信号里面的东西，而我没学过信号。 所以看的也不怎么懂。

大概就是对离散的信号，先将其转变为一些正弦函数，然后这些正弦函数叠加能构成这个离散信号，但是这些正弦函数易于处理。处理完之后就可以再转变回来。

两个过程叫做DFT和IDFT。

对于本道题。意义就很明显了。

可以把两个大整数相乘看做是多项式乘法。

最后求出各系数后再进位即可

代码如下、

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <map>
#include <queue>
#include <set>
#include <vector>
using namespace std;
#define L(x) (1 << (x))
const double PI = acos(-1.0);
const int Maxn = 133015;
double ax[Maxn],ay[Maxn],bx[Maxn],by[Maxn];
char sa[Maxn/2],sb[Maxn/2];
int sum[Maxn];
int x1[Maxn],x2[Maxn];
int revv(int x,int bits)
{
    int ret = 0;
    for (int i = 0; i < bits; i++)
    {
        ret <<= 1;
        ret |= x & 1;
        x >>= 1;
    }
    return ret;
}
void fft(double * a,double * b,int n,bool rev)
{
    int bits = 0;
    while (1 << bits < n) ++bits;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        int j = revv(i,bits);
        if (i < j)
            swap(a[i],a[j]),swap(b[i],b[j]);
    }
    for (int len = 2; len <= n; len <<= 1)
    {
        int half = len >> 1;
        double wmx = cos(2 * PI / len),wmy = sin(2 * PI / len);
        if (rev) wmy = -wmy;
        for (int i = 0; i < n; i += len)
        {
            double wx = 1,wy = 0;
            for (int j = 0; j < half; j++)
            {
                double cx = a[i + j],cy = b[i + j];
                double dx = a[i + j + half],dy = b[i + j + half];
                double ex = dx * wx - dy * wy,ey = dx * wy + dy * wx;
                a[i + j] = cx + ex,b[i + j] = cy + ey;
                a[i + j + half] = cx - ex,b[i + j + half] = cy - ey;
                double wnx = wx * wmx - wy * wmy,wny = wx * wmy + wy * wmx;
                wx = wnx,wy = wny;
            }
        }
    }
    if (rev)
    {
        for (int i = 0; i < n; i++)
            a[i] /= n,b[i] /= n;
    }
}
int solve(int a[],int na,int b[],int nb,int ans[])
{
    int len = max(na,nb),ln;
    for(ln=0; L(ln)<len; ++ln);
    len=L(++ln);
    for (int i = 0; i < len ; ++i)
    {
        if (i >= na) ax[i] = 0,ay[i] =0;
        else ax[i] = a[i],ay[i] = 0;
    }
    fft(ax,ay,len,0);
    for (int i = 0; i < len; ++i)
    {
        if (i >= nb) bx[i] = 0,by[i] = 0;
        else bx[i] = b[i],by[i] = 0;
    }
    fft(bx,by,0);
    for (int i = 0; i < len; ++i)
    {
        double cx = ax[i] * bx[i] - ay[i] * by[i];
        double cy = ax[i] * by[i] + ay[i] * bx[i];
        ax[i] = cx,ay[i] = cy;
    }
    fft(ax,1);
    for (int i = 0; i < len; ++i)
        ans[i] = (int)(ax[i] + 0.5);
    return len;
}

int main()
{
    int l1,l2,l;
    int i;
    while(gets(sa))
    {
        gets(sb);
        memset(sum,sizeof(sum));
        l1 = strlen(sa);
        l2 = strlen(sb);
        for(i = 0; i < l1; i++)
            x1[i] = sa[l1 - i - 1]-'0';
        for(i = 0; i < l2; i++)
            x2[i] = sb[l2-i-1]-'0';
        l = solve(x1,l1,x2,sum);
        for(i = 0; i<l || sum[i] >= 10; i++) // 进位
        {
            sum[i + 1] += sum[i] / 10;
            sum[i] %= 10;
        }
        l = i;
        while(sum[l] <= 0 && l>0)    l--; // 检索最高位
        for(i = l; i >= 0; i--)    putchar(sum[i] + '0'); // 倒序输出
        putchar('n');
    }
    return 0;
}

然后模板来一发。

#define L(x) (1 << (x))
const double PI = acos(-1.0);
const int Maxn = 133015;
double ax[Maxn],by[Maxn];
int revv(int x,int ans[]) //两个数组求卷积,有时ans数组要开成long long
{
    int len = max(na,1);
    for (int i = 0; i < len; ++i)
        ans[i] = (int)(ax[i] + 0.5);
    return len;
}
int solve(long long a[],int ans[]) //自己跟自己求卷积,有时候ans数组要开成long long
{
    int len = na,ln;
    for(ln = 0; L(ln) < na; ++ln);
    len=L(++ln);
    for(int i = 0; i < len; ++i)
    {
        if (i >= na) ax[i] = 0,ay[i] = 0;
        else ax[i] = a[i],0);
    for(int i=0; i<len; ++i)
    {
        double cx = ax[i] * ax[i] - ay[i] * ay[i];
        double cy = 2 * ax[i] * ay[i];
        ax[i] = cx,1);

    for(int i=0; i<len; ++i)
        ans[i] = ax[i] + 0.5;
    return len;
}