HDU1568-大数的Fibonacci(取对数技巧，通项公式)

HDU 1568 Fibonacci

先看对数的性质,loga(b^c)=c*loga(b),loga(b*c)=loga(b)+loga(c);
假设给出一个数10234432,那么log10(10234432)=log10(1.0234432*10^7)=log10(1.0234432)+7;

log10(1.0234432)就是log10(10234432)的小数部分.

log10(1.0234432)=0.010063744
10^0.010063744=1.023443198
那么要取几位就很明显了吧~
先取对数(对10取),然后得到结果的小数部分bit,pow(10.0,bit)以后如果答案还是<1000那么就一直乘10。
注意偶先处理了0~20项是为了方便处理~

这题要利用到数列的公式:an=(1/√5) * [((1+√5)/2)^n-((1-√5)/2)^n](n=1,2,3.....)

取完对数

log10(an)=-0.5*log10(5.0)+((double)n)*log(f)/log(10.0)+log10(1-((1-√5)/(1+√5))^n)其中f=(sqrt(5.0)+1.0)/2.0;
log10(1-((1-√5)/(1+√5))^n)->0( 其实我还是不明白这里，所以干脆加上也ac)
所以可以写成log10(an)=-0.5*log10(5.0)+((double)n)*log(f)/log(10.0);
最后取其小数部分。

(遇到大数要取前几位的，都可以用这个技巧！避免溢出.)

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int fib[40];
int main()
{
    fib[1]=1;
    fib[0]=0;
    int i;
    for(i=2;i<21;++i)
        fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2];
    int n;
    double p,f;
    f=(1.0+sqrt(5.0))/2.0;
    while(scanf("%d",&n)==1)
    {
        if(n<21)
        {
            printf("%dn",fib[n]);
            continue;
        }
        p=-0.5*log10(5.0)+n*1.0*log(f)/log(10.0)+log10(1.0-pow((1.0-sqrt(5.0)) / (1.0+sqrt(5.0)),n));
        p=p-floor(p);
        p=pow(10.0,p);
        while(p<1000)
            p*=10;
        printf("%dn",(int)p);
    }
    return 0;
}