算法理解——大数相乘问题

腾讯今年校招的一道附加题，就是“大数相乘”问题。所谓大数相乘，就是指数字比较大，相乘的结果超出了基本类型的表示范围，所以这样的数不能够直接做乘法运算。

其实乘法运算可以分拆为两步：第一步，是将乘数与被乘数逐位相乘；第二步，将逐位相乘得到的结果，对应相加起来。这有点类似小学数学中，计算乘法时通常采用的“竖式运算”。

这里唯一要注意的便是进位问题，我们可以先不考虑进位，当所有位对应相加，产生结果之后，再考虑如果该位的数字大于10，那么我们用取余运算，在该位上只保留取余运算的结果，而将进位（通过模运算得到）累加到下一位便可。

用java简单实现了这个算法，代码如下：

public class BigNumberMulti {
	public static void main(String[] args) {
		String num1Str = "24566";
		String num2Str = "452053";
		int[] num1 = new int[num1Str.length()];
		int[] num2 = new int[num2Str.length()];
		//将字符串转换为整数数组，注意，24566应转化成{6,6,5,4,2}
		for(int i = 0; i < num1Str.length();i++) {
			num1[num1Str.length() -1- i] = num1Str.charAt(i)-'0';
		}
		for(int i = 0; i < num2Str.length();i++) {
			num2[num2Str.length() -1- i] = num2Str.charAt(i)-'0';
		}
		int[] result = multiply(num1,num2);
		for(int i = result.length-1; i>=0;i--){
			System.out.print(result[i]);
		}
	}

	public static int[] multiply(int[] num1,int[] num2) {
		int lengthOfNum1 = num1.length;
		int lengthOfNum2 = num2.length;
		// 分配一个空间，用来存储运算的结果，n1长的数* n2长的数，结果不会超过n1+n2长
		int[] result = new int[lengthOfNum1 + lengthOfNum2];
		// 先不考虑进位问题，根据小学竖式的乘法运算，n1的第i位与n2的第j位相乘，结果应该存放在结果的第i+j位上
		for (int i = 0; i < lengthOfNum1; i++) {
			for (int j = 0; j < lengthOfNum2; j++) {
				result[i + j] += num1[i] * num2[j];
			}
		}
		// 单独处理进位问题
		for (int i = 0; i < lengthOfNum1 + lengthOfNum2 -1; i++) {
			if (result[i] > 10) {
				result[i + 1] += result[i] / 10;
				result[i] %= 10;
			}
		}
		
		return result;

	}
}