基本原理

先将原问题表达为?f(x)=0?求零根问题
设?r?是 f(x)=0 的一个根，则?x_0?处的切线方程为?

选取?x₀?为接近根的初始值，不断用过?

?点的切线将?

?的过程就是迭代过程。
所以?x_n?是?

??的解。
整理并解得:

即为迭代通式。

迭代的适用性

首先原函数的导数可以比较容易的可得，且其导函数中不含有形如原函数的因子。
另外需要关注两个问题：

1. 迭代是否收敛？????直接决定是否可以使用迭代法

2. 迭代的收敛速度？????决定了逼近的速度

牛顿迭代法具有较高的收敛速度，收敛阶数为＝2。
而牛顿迭代法的局部收敛性较强，只有初值充分地接近，才能确保迭代序列的收敛性。
为了放宽对局部收敛性的限制，必须再增加条件建立以下收敛的充分条件。

对于f(x)在区间[a,b]上，需满足：

1. f(a)f(b)<0，即保证根的存在性

2. f'(x)≠0，单调性是一致的，即有唯一的解

3. f"(x)?不变号，即函数的凹向不变

4. f'(x₀)f"(x₀)>0

因此，在放宽x₀取值时，必须要满足上述4个条件才可以迭代逼近。

求

的迭代式

该问题等价于

的问题。
所以有 f'(x)=2x?，代入到迭代通式中得：

简化整理得：

即为

的逼近法解决的迭代式。

求

的迭代式

该问题等价于

。
所以有?f'(x)=3x²?，代入到迭代通式中得：

简化整理得：

即为

的逼近法解决的迭代式。

实际应用

讨论牛顿逼近法一方面可以了解Math.sqrt()实现，另一方面，对于大数计算/高精度计算就显得非常重要了。

例如Java中BigDecimal对象没有sqrt方法，如果需要对一个大数（或者一个高精度实数）进行开方应该怎么办？

就按照上面的方法我们自己实现一个：（关键点就是得到迭代式）

//?利用BigDecimal做数值容器
//?利用上面求出的牛顿法迭代式
//?实现??对任意大数/任意精度实数进行开方
static?BigDecimal?newtonMethodSqrt2?(BigDecimal?a,?int?precision)?{
??????????BigDecimal?_2?=?new?BigDecimal(2);
??????????BigDecimal?xn?=?a.divide(_2);?????//?x0的初始值
??????????MathContext?mc?=?new?MathContext(precision,?RoundingMode.HALF_UP);
??????????int?loop?=?(int)?Math.ceil(Math.log(precision)?/?Math.log(2));
??????????for?(int?i?=?loop;?i?>=?0;?i--)?{
????????????????xn?=?xn.add(a.divide(xn,?mc)).divide(_2,?mc);?//?上面求出的迭代式
??????????}
??????????return?xn;
}

public?static?void?main(String[]?args)?{
??????????System.out.println(newtonMethodSqrt2(new?BigDecimal(2),?100));
}

这就是对一个大数/高精度数进行开方的运算（指定了100位精度），看一下运算结果，再对比一下高精度计算器bc的结果：

与bc结果一致，即有了

的精度。

特别注意到，当上面循环改为 i>0 时，第97位以后出现偏差，即有了

的精度。

这也说明了，有限精度多次计算造成精度降低，于是，要适当的提高精度要求或者增加迭代次数。

其它

某些高阶方程问题无法用计算机直接计算的时候，可以尝试使用牛顿迭代法。

显然，要利用计算机解决这些问题，就需要算出迭代式，这才是程序的关键。

前面已经给出了利用牛顿迭代法求开方的例子。同时也给出开三次方的迭代式，上面的newtonMethodSqrt2按通式稍稍变形即可计算开三次方。

同理，用通式算出开n次方的迭代式，也可以计算。

同理，对于大数?log_a(x)?的计算，等价于对?X?开?a?次方的问题，所以如法炮制。

还有，对于其它某些高阶问题需要用迭代法解决时，发现其导数不易求得或者牛顿法迭代式比原式更复杂，则可以考虑使用牛顿迭代法的变种，比如牛顿下山法、单点弦截法、双点弦截法等来解决，但通常它们具有更低的收敛速度，即需要更多次的迭代才能很好的逼近真实值。?