数组中求第K大数

该问题是一个经典的问题，在《算法导论》中被作为单独的一节提出，而且其解决方法很好的利用了分治的思想，将时间复杂度控制在了O(n)，这多少出乎我们的意料，此处暂且不表。

该问题还可以变形为：有一个大小为 n的数组A[0,n-1]，求其中前k大的数。

一字之差，原问题是“第k大”，变形的问题是“前k大”，但是平均时间复杂度却都可以控制在O(n)，这不由得让人暗暗称奇。

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我们先分析原问题：有一个大小为 n的数组A[0,n-1]，求其中第k大的数。

我们先取特例，令k=1，那么就是取最大的数，只要扫描一遍数组就可以确定该值，如果k=2，则扫描两边数组就可以确定第二大的数，依此类推下去，时间复杂度是O(k*n)，如果k跟n是一个数量级，那么时间复杂度就是O(n*n)了，显然不是最优的解法。

考虑分治法，难点在于如何将该问题分解为两个子问题。

快速排序最基础的一步：

?????? 随机取某一个数x，将其与数组末尾元素交换，然后将比其小的数交换至前，比其大的数交换至后。

这一步使某一数组的快速排序问题分解成两个子数组的排序问题，现在我们就依此来解决取第k大的数这个问题。

设数组下表从0开始，至n-1结束。

1、 随机取某个数，将其与数组末尾元素交换。

a)??????? idx=rand(0,n-1);生成[0,n-1]间的随机数。

b)??????? Swap(array[idx],array[n-1]);

2、 用末尾元素x，将比x小的数交换至前，比x大的数交换至后，并返回此时x在数组中的位置mid。

3、 如果mid==n-k，那么返回该值，这就是第k大的数。

如果mid>n-k，那么第k大的数在左半数组，且在左半数组中是第k-(n-mid)大的数。

如果mid<n-k，那么第k大的数在右半数组，而且仍然是第k的数。

方法一：

方法二：