大数的中位数问题

其实很多面试都会提到，一堆大数，我要找到其中位数，在O(N)的算法复杂度内。往往这些大数都是不能一次性读到内存中的。

腾讯面试题：10G 个整数，乱序排列，要求找出中位数。内存限制为 2G。
题目和基本思路都来源网上，本人加以整理。
题目：在一个文件中有 10G 个整数，乱序排列，要求找出中位数。内存限制为 2G。只写出思路即可（内存限制为 2G的意思就是，可以使用2G的空间来运行程序，而不考虑这台机器上的其他软件的占用内存）。
关于中位数：数据排序后，位置在最中间的数值。即将数据分 成两部分，一部分大于该数值，一部分小于该数值。中位数的位置：当样本数为奇数时，中位数=(N+1)/2 ; 当样本数为偶数时，中位数为N/2与1+N/2的均值（那么10G个数的中位数，就第5G大的数与第5G+1大的数的均值了）。
分析：明显是一道工程性很强的题目，和一般的查找中位数的题目有几点不同。
1. 原数据不能读进内存，不然可以用快速选择，如果数的范围合适的话还可以考虑桶排序或者计数排序，但这里假设是32位整数，仍有4G种取值，需要一个16G大小的数组来计数。
2. 若看成从N个数中找出第K大的数，如果K个数可以读进内存，可以利用最小或最大堆，但这里K=N/2,有5G个数，仍然不能读进内存。
3. 接上，对于N个数和K个数都不能一次读进内存的情况，《编程之美》里给出一个方案：设k < K,且k个数可以完全读进内存，那么先构建k个数的堆，先 找出第0到k大的数，再扫描一遍数组找出第k+1到2k的数，再扫描直到找出第K个数。虽然每次时间大约是nlog(k)，但需要扫描ceil(K/k) 次，这里要扫描5次。

主要的思想就是分段去读取，其实和桶排序有些相似

首先假设是32位无符号整数。
1. 读一遍10G个整数，把整数映射到256M个区段中，用一个64位无符号整数给每个相应区段记数。
说 明：整数范围是0 - 2^32 - 1，一共有4G种取值，映射到256M个区段，则每个区段有16（4G/256M = 16）种值，每16个值算一段， 0～15是第1段，16～31是第2段，……2^32-16 ～2^32-1是第256M段。一个64位无符号整数最大值是0～8G-1，这里先不考虑溢出的情况。总共占用内存256M×8B=2GB。
2. 从前到后对每一段的计数累加，当累加的和超过5G时停止，找出这个区段（即累加停止时达到的区段，也是中位数所在的区段）的数值范围，设为[a，a+15]，同时记录累加到前一个区段的总数，设为m。然后，释放除这个区段占用的内存。
3. 再读一遍10G个整数，把在[a，a+15]内的每个值计数，即有16个计数。
4. 对新的计数依次累加，每次的和设为n，当m+n的值超过5G时停止，此时的这个计数所对应的数就是中位数。

总结： 1.以上方法只要读两遍整数，对每个整数也只是常数时间的操作，总体来说是线性时间。 2. 考虑其他情况。 若是有符号的整数，只需改变 映射即可。若是64为整数，则增加每个区段的范围，那么在第二次读数时，要考虑更多的计数。若过某个计数溢出，那么可认定所在的区段或代表整数为所求，这 里只需做好相应的处理。噢，忘了还要找第5G+1大的数了，相信有了以上的成果，找到这个数也不难了吧。 3. 时空权衡。 花费256个区段也许只是恰好配合2GB的内存（其实也不是，呵呵）。可以增大区段范围，减少区段数目，节省一些内存，虽然增加第二部分的对单个数值的计数，但第一部分对每个区段的计数加快了（总体改变？？待测）。 4. 映射时尽量用位操作，由于每个区段的起点都是2的整数幂，映射起来也很方便。 答案: 1， 把整数分成256M段，每段可以用64位整数保存该段数据个数，256M*8 = 2G内存，先清0 2，读10G整数，把整数映射到256M段中，增加相应段的记数 3，扫描256M段的记数，找到中位数的段和中位数的段前面所有段的记数，可以把其他段的内存释放 4，因中位数段的可能整数取值已经比较小（如果是32bit整数，当然如果是64bit整数的话，可以再次分段），对每个整数做一个记数，再读一次10G整数，只读取中位数段对应的整数，并设置记数。 5，对新的记数扫描一次，即可找到中位数。 如果是32bit整数，读10G整数2次，扫描256M记数一次，后一次记数因数量很小，可以忽略不记 (设是32bit整数，按无符号整数处理 整数分成256M段？ 整数范围是0 - 2^32 - 1 一共有4G种取值，4G/256M = 16，每16个数算一段 0-15是1段，16-31是一段，… 整数映射到256M段中？ 如果整数是0-15，则增加第一段记数，如果整数是16-31，则增加第二段记数，… 其实可以不用分256M段，可以分的段数少一写，这样在扫描记数段时会快一些，还能节省一些内存)