HDOJ 4002 Find the maximum (欧拉函数+大数打表)

发布时间：2020-12-14 02:31:43 所属栏目：大数据来源：网络整理

导读：题意给出一个n，求一个数x，x在1到n之间，并且x/φ(x)最大(其中φ(x)为x的欧拉函数)。思路前两天刚学了欧拉函数，不过这题拿过来还是不知道要做什么。后来还是忍着没看题解，然后上百度百科看欧拉函数，然后什么都知道了。。。还是之前学的不好啊，只是知

题意

给出一个n，求一个数x，x在1到n之间，并且x/φ(x)最大(其中φ(x)为x的欧拉函数)。

思路

前两天刚学了欧拉函数，不过这题拿过来还是不知道要做什么。后来还是忍着没看题解，然后上百度百科看欧拉函数，然后什么都知道了。。。还是之前学的不好啊，只是知道了一些皮毛根本没搞清楚到底是怎样的。做完这题算是对这个函数的理解更深刻了吧。
首先来看欧拉函数的通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn)。
于是x/φ(x)=1/(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn)。
这样的话答案就一目了然了，让想让原式更大就需要让分母更小。因为下面的项都是小于1的，所以项越多原式就越大。而1/pn是小于1的，所以需要让1/pn更大也就是让pn更小。
又因为每种质因数只一个。比如12=223那么φ（12）=12（1-1/2）(1-1/3)=4。
所以答案显而易见就是尽量小的质数的相乘，也就是
2=2 (1-5)
6=23 (6-29)
30=235 (30-119)
120=2357 (120-2309)
2310=235711 …
… …
就是这样打一个质数相乘的表然后输入n直接查询即可。
因为数据很大于是用java写的大数，然后就开始TLE了。。。
改了很多种写法。。TLE了8次然后我去看了一下Discuss。。。这题竟然卡java。
所以之前java可以过的现在也过不去了，我去网上找了一篇题解交了一下果然TLE了。
于是我就改成了C++。。。但是C++的高精度写起来实在太麻烦了。。。我就用java打表输出，然后在C++里面用字符串储存过了这题。
真坑。。。

附上C++打表AC的代码和JAVA答案正确但是TLE的代码。

AC代码

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const double eps = 1e-4;
char a[][100] =
{
        "2",
        "6",
        "30",
        "210",
        "2310",
        "30030",
        "510510",
        "9699690",
        "223092870",
        "6469693230",
        "200560490130",
        "7420738134810",
        "304250263527210",
        "13082761331670030",
        "614889782588491410",
        "32589158477190044730",
        "1922760350154212639070",
        "117288381359406970983270",
        "7858321551080267055879090",
        "557940830126698960967415390",
        "40729680599249024150621323470",
        "3217644767340672907899084554130",
        "267064515689275851355624017992790",
        "23768741896345550770650537601358310",
        "2305567963945518424753102147331756070",
        "232862364358497360900063316880507363070",
        "23984823528925228172706521638692258396210",
        "2566376117594999414479597815340071648394470",
        "279734996817854936178276161872067809674997230",
        "31610054640417607788145206291543662493274686990",
        "4014476939333036189094441199026045136645885247730",
        "525896479052627740771371797072411912900610967452630",
        "72047817630210000485677936198920432067383702541010310",
        "10014646650599190067509233131649940057366334653200433090",
        "1492182350939279320058875736615841068547583863326864530410",
        "225319534991831177328890236228992001350685163362356544091910",
        "35375166993717494840635767087951744212057570647889977422429870",
        "5766152219975951659023630035336134306565384015606066319856068810",
        "962947420735983927056946215901134429196419130606213075415963491270",
        "166589903787325219380851695350896256250980509594874862046961683989710",
        "29819592777931214269172453467810429868925511217482600306406141434158090",
        "5397346292805549782720214077673687806275517530364350655459511599582614290",
        "1030893141925860008499560888835674370998623848299590975192766715520279329390",
        "198962376391690981640415251545285153602734402721821058212203976095413910572270",
        "39195588149163123383161804554421175259738677336198748467804183290796540382737190",
        "7799922041683461553249199106329813876687996789903550945093032474868511536164700810",
        "1645783550795210387735581011435590727981167322669649249414629852197255934130751870910",
        "367009731827331916465034565550136732339800312955331782619462457039988073311157667212930",
        "83311209124804345037562846379881038241134671040860314654617977748077292641632790457335110",
        "19078266889580195013601891820992757757219839668357012055907516904309700014933909014729740190",
        "4445236185272185438169240794291312557432222642727183809026451438704160103479600800432029464270",
        "1062411448280052319722448549835623701226301211611796930357321893850294264731624591303255041960530",
        "256041159035492609053110100510385311995538591998443060216114576417920917800321526504084465112487730",
        "64266330917908644872330635228106713310880186591609208114244758680898150367880703152525200743234420230"
};
char str[100];
int main()
{
    //freopen("H:in.txt","r",stdin);
    //freopen("H:out.txt","w",stdout);
    int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%s",str);
		int x = strlen(str);
		int i;
		for( i = 0; i < 60; i++)
		{
			int y = strlen(a[i]);
			if (x < y)
				break;
			if (x > y)
				continue;
			if (strcmp(str,a[i]) < 0)
				break;
		}
		printf("%sn",a[i-1]);
	}
    return 0;
}

JAVA代码

import java.io.*;
import java.math.*;
import java.util.Scanner;
public class Main {
    static int k;
    static int[] temp = new int[300];
    static BigInteger[] prime = new BigInteger[60];
    static void table() {
        for(int i = 0; i < 300; i++)
        {
            temp[i] = 1;
        }
        k = 0;
        temp[1] = 0;
        for(int i = 2; i < 242; i++)
            if (temp[i] != 0)
            {
                prime[k] = BigInteger.valueOf(i);
                k++;
                for(int j = 2*i; j < 242; j+=i)
                    temp[j] = 0;
            }
        for(int i = 1; i < k; i++)
        {
                prime[i] = prime[i].multiply(prime[i-1]);
        }
    }
    public static void main (String[] args) {
        Scanner cin = new Scanner (System.in);
        int T;
        T = cin.nextInt();
        table();
        while(T > 0)
        {
            T--;
            BigInteger n = cin.nextBigInteger();
            int i;
            for(i = 0; i < k; i++)
            {
                if (n.compareTo(prime[i]) < 0)
                    break;
            }
            System.out.println(prime[i-1]);
        }
    }
}

（编辑：李大同）

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