POJ 1091 跳蚤（分解质因数＋容斥＋大数）

发布时间：2020-12-14 02:26:28 所属栏目：大数据来源：网络整理

导读：跳蚤 Time Limit: 1000MS ? Memory Limit: 10000K Total Submissions: 8910 ? Accepted: 2676 Description Z城市居住着很多只跳蚤。在Z城市周六生活频道有一个娱乐节目。一只跳蚤将被请上一个高空钢丝的正中央。钢丝很长，可以看作是无限长。节目主持人会给

跳蚤

Time Limit: 1000MS	?	Memory Limit: 10000K
Total Submissions: 8910	?	Accepted: 2676

Description

Z城市居住着很多只跳蚤。在Z城市周六生活频道有一个娱乐节目。一只跳蚤将被请上一个高空钢丝的正中央。钢丝很长，可以看作是无限长。节目主持人会给该跳蚤发一张卡片。卡片上写有N+1个自然数。其中最后一个是M，而前N个数都不超过M，卡片上允许有相同的数字。跳蚤每次可以从卡片上任意选择一个自然数S，然后向左，或向右跳S个单位长度。而他最终的任务是跳到距离他左边一个单位长度的地方，并捡起位于那里的礼物。
比如当N=2，M=18时，持有卡片(10,15,18)的跳蚤，就可以完成任务：他可以先向左跳10个单位长度，然后再连向左跳3次，每次15个单位长度，最后再向右连跳3次，每次18个单位长度。而持有卡片(12,18)的跳蚤，则怎么也不可能跳到距他左边一个单位长度的地方。
当确定N和M后，显然一共有M^N张不同的卡片。现在的问题是，在这所有的卡片中，有多少张可以完成任务。

Input

两个整数N和M(N <= 15,M <= 100000000)。

Output

可以完成任务的卡片数。

Sample Input

2 4

Sample Output

Hint

这12张卡片分别是：
(1,1,4),(1,2,3,4,(2,
(3,(3,(4,4)

Source

HNOI 2001

题目链接：http://poj.org/problem?id=1091

题目分析：不知道数据是有多弱，discuss里说long long就可过，显然随便出一组数据都可能爆long long，所以还是用Java大数写了一发，这题其实就是：
对于一个数列ai，求有多少种排列使得gcd(a[1],a[2],...,a[n],m) == 1，首先题目已经说了，总的可能是m^n，现在要减去不符合条件的情况，比如gcd为2，gcd为3，注意如果gcd为6，则被减了2次，要加回来，因此这里要用到容斥定理，m^n－gcd由奇数个不同素数相乘得到的情况＋gcd由偶数个不同的素数相乘得到的情况，因为m是确定的，因此我们可以对m进行分解质因数，每种gcd集合元素个数可以通过枚举后DFS求解，具体细节见程序

import java.util.*;
import java.math.*;

public class Main{
    public static int fac[] = new int[105];
    public static int re[] = new int[105];
    public static int cnt = 0,n,m;
    public static BigInteger fnum;

    public static void Divide(int x){       //分解质因数
        for(int i = 2; i <= (int)Math.sqrt(x); i++){
            if(x % i == 0){
                fac[cnt ++] = i;
                while(x % i == 0){
                    x = x / i;
                }
            }
        }
        if(x > 1)
            fac[cnt ++] = x;
    }

    public static void DFS(int pos,int cur,int num){
        if(cur == num){
            BigInteger t = BigInteger.valueOf(m);
            for(int i = 0; i < cur; i++)
                //t表示gcd值为num个素数相乘得到时(设乘积为mul)每个元素可能的值即(m / mul)
                //比如m＝18，mul＝6时，每个元素可能的值有3个：6 12 18 
                t = t.divide(BigInteger.valueOf(re[i]));
            //每个位置有t种选择，共有n各位置，所以当前集合元素个数为t^n 
            fnum = fnum.add(t.pow(n));
            return;
        }
        for(int i = pos; i < cnt; i++){
            re[cur] = fac[i];
            DFS(i + 1,cur + 1,num);
        }
    }

    public static void main(String[] args){
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        while(in.hasNext())
        {
            n = in.nextInt();
            m = in.nextInt();
            Divide(m);
            BigInteger extra = BigInteger.ZERO;
            for(int i = 1; i <= cnt; i++){
                fnum = BigInteger.ZERO; //fnum存的是gcd集合元素个数
                DFS(0,i);
                if(i % 2 == 1)  //容斥
                    extra = extra.add(fnum);
                else
                    extra = extra.subtract(fnum);
            }
            System.out.println(BigInteger.valueOf(m).pow(n).subtract(extra));

        }
    }   
}

（编辑：李大同）

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