大数定律
发布时间：2020-12-14 01:49:27 所属栏目：大数据 来源：网络整理
导读：大数定律有若干个表现形式。这里仅介绍 高等数学概率论要求的常用的三个重要定律： 切比雪夫大数定理 设 ? ? ，....是一列相互独立的随机变量(或者两两不相关) [2] ??，他们分别存在期望 ? ? 和方差 ? ? 。若存在常数C使得： ? 则对任意小的正数 ε，满足公
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大数定律有若干个表现形式。这里仅介绍
高等数学概率论要求的常用的三个重要定律：
设
?
，....是一列相互独立的随机变量(或者两两不相关)
[2]
??，他们分别存在期望
?
和方差
?
。若存在常数C使得：
?
则对任意小的正数 ε，满足公式一：
将该公式应用于抽样调查，就会有如下结论：随着
样本容量n的增加，
样本平均数将接近于
总体平均数。从而为统计推断中依据样本平均数估计总体平均数提供了理论依据。
特别需要注意的是，
切比雪夫大数定理并未要求
?
同分布，相较于后面介绍的伯努利大数定律和
辛钦大数定律更具一般性。
设μ是n次独立试验中事件A发生的次数，且事件A在每次试验中发生的
概率为P，则对任意正数ε，有公式二：
该定律是
切比雪夫大数定律的特例，其含义是，当n足够大时，事件A出现的频率将几乎接近于其发生的概率，即频率的稳定性。
在抽样调查中，用样本成数去估计总体成数，其理论依据即在于此。
辛钦大数定律：常用的大数定律
设
?
为独立同分布的随机变量序列，若
?
的
数学期望存在，则服从大数定律:
即对任意的ε>0，有公式三：
大数定律的四种证法
对于一般人来说，大数定律的非严格表述是这样的：
?
是独立同分布随机变量序列，期望为
?
，则
?
收敛到u.
如果说“弱大数定律”，上述收敛是指
依概率收敛(in probability)，如果说“
强大数定律”，上述收敛是指几乎必然收敛(almost surely/with probability one)。
大数定律通俗一点来讲，就是样本数量很大的时候，样本均值和真实均值充分接近
。这一结论与中心极限定理一起，成为现代概率论、统计学、理论科学和社会科学的基石。（有趣的是，虽然大数定律的表述和证明都依赖现代数学知识，但其结论最早出现在微积分出现之前。而且在生活中，即使没有微积分的知识也可以应用。例如，没有学过微积分的学生也可以轻松利用excel或计算器计算样本均值等统计量，从而应用于社会科学。）
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