利用C++实现最长公共子序列与最长公共子串

一、问题描述

子串应该比较好理解，至于什么是子序列，这里给出一个例子：有两个母串

cnblogs

belong

比如序列bo,bg,lg在母串cnblogs与belong中都出现过并且出现顺序与母串保持一致，我们将其称为公共子序列。最长公共子序列（Longest Common Subsequence,LCS），顾名思义，是指在所有的子序列中最长的那一个。子串是要求更严格的一种子序列，要求在母串中连续地出现。在上述例子的中，最长公共子序列为blog（cnblogs,belong），最长公共子串为lo（cnblogs,belong）。

二、求解算法

对于母串X=<x1,x2,⋯,xm>X=<x1,xm>,Y=<y1,y2,yn>Y=<y1,yn> ，求LCS与最长公共子串。

暴力解法

假设 m<nm<n， 对于母串XX，我们可以暴力找出2m2m个子序列，然后依次在母串YY中匹配，算法的时间复杂度会达到指数级O(n∗2m)O(n∗2m) 。显然，暴力求解不太适用于此类问题。

动态规划

假设Z=<z1,z2,zk>Z=<z1,zk>是XX与YY的LCS， 我们观察到

     如果xm=ynxm=yn，则zk=xm=ynzk=xm=yn，有Zk−1Zk−1是Xm−1Xm−1与Yn−1Yn−1的LCS；

     如果xm≠ynxm≠yn，则ZkZk是XmXm与Yn−1Yn−1的LCS，或者是Xm−1Xm−1与YnYn的LCS。

因此，求解LCS的问题则变成递归求解的两个子问题。但是，上述的递归求解的办法中，重复的子问题多，效率低下。改进的办法――用空间换时间，用数组保存中间状态，方便后面的计算。这就是动态规划（DP)的核心思想了。

DP 求解 LCS

用二维数组c[i][j]记录串x1x2⋯xix1x2⋯xi与y1y2⋯yjy1y2⋯yj的LCS长度，则可得到状态转移方程

代码实现

public static int lcs(String str1,String str2) {
 int len1 = str1.length();
 int len2 = str2.length();
 int c[][] = new int[len1+1][len2+1];
 for (int i = 0; i <= len1; i++) {
 for( int j = 0; j <= len2; j++) {
  if(i == 0 || j == 0) {
  c[i][j] = 0;
  } else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {
  c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
  } else {
  c[i][j] = max(c[i - 1][j],c[i][j - 1]);
  }
 }
 }
 return c[len1][len2];
}

DP 求解最长公共子串

前面提到了子串是一种特殊的子序列，因此同样可以用DP来解决。定义数组的存储含义对于后面推导转移方程显得尤为重要，糟糕的数组定义会导致异常繁杂的转移方程。考虑到子串的连续性，将二维数组c[i][j]用来记录具有这样特点的子串――结尾同时也为为串x1x2⋯xix1x2⋯xi与y1y2⋯yjy1y2⋯yj的结尾――的长度。

得到转移方程：

最长公共子串的长度为 max(c[i,j]),i∈{1,m},j∈{1,n}max(c[i,n} 。

代码实现

public static int lcs(String str1,String str2) {
 int len1 = str1.length();
 int len2 = str2.length();
 int result = 0; //记录最长公共子串长度
 int c[][] = new int[len1+1][len2+1];
 for (int i = 0; i <= len1; i++) {
 for( int j = 0; j <= len2; j++) {
  if(i == 0 || j == 0) {
  c[i][j] = 0;
  } else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {
  c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
  result = max(c[i][j],result);
  } else {
  c[i][j] = 0;
  }
 }
 }
 return result;
}

总结

以上就是这篇文章的全部内容改了，希望本文的内容对大家的学习或者工作能带来一定的帮助，如果有疑问大家可以留言交流。

（编辑：李大同）

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