从这一章开始，我们将学习三角学，并在第五章开始应用到动画技术中，其实在下一章的绘
图技术中就会接触到。如果你已经对三角学有所了解或渴望学习动画方面的知识， 那么可以
跳过开始这部分，待日后遇到不懂的问题时，再回来学习。我们用到的 90％的三角学都需
要 Math.sin 和 Math.cos 这两个函数。在我写本书的第一版时，曾说过，除了在中学学习
过的那些代数和几何外(而且由于时间久远大多都记不清了)，我没有接受过正规的数学培
训，最初在本章中的内容都是来自于各种书籍，网站或是其它网络资源，这是因为这部分知
识并不难，既然我能够学会，那么你也一定可以的。而现在我已经完成了大学代数和微积分
课程，对于三角学也有了更为全面和系统的了解。我可以很荣幸地说， 这一章的内容非常好，
因为对于这个学科有了更为深入的了解，所以很多地方可以解释得更为清楚。
什么是三角学(Trigonometry)
??? 三角学是一门研究三角形与其边和角关系的学科。 当我们观察一个三角形时，发现它有
三条边和三个角（因此称为三角），而且在这些边和角之间存在着一些特殊的关系。例如，
增大其中的任何一个角，那么该角所对应的边就会增长（假设其它两条边长度不变） 同时，
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ，
其它两个角会变小，实际上，究竟它们变化了多少，加以计算后就可以得出一个比例。在一
个三角形中，如果其中有一个角为 90 度，那么就称为直角三角形，并在该角的夹角处标出
一个正方形（垂足），只有在直角三角形才会这样。学习直角三角形中存在的关系要比推导
基本公式简单得多，这使得直角三角形成为一种非常有用的结构， 本章及该书后面的内容大
多都是直角三角形。
角(Angle)
??? 角是三角学最主要的研究对象，? 让我们先来解决这个问题。 角是由两条相交线构成的图
形，或是两条相交线之间的那部分空间，空间远大，夹角越大。事实上，两条相交的线会形
成四个角，见图 3-1：
图 3-1 两条线形成四个角
弧度制(radian)与角度制(degress)
?
?? 弧度制与角度制是角度测量中的两种特殊制度。?? 我们大概对于角度制最为熟悉，甚至闭
着眼都能画出 45 度或 90 度的角。圆的 360 度体系已经成为了一种文化，人们常说“180 度
转弯”就是指“转到相反的方向”，这里并不是指转弯的方向，而是指一种相反的观点。我
们所讨论的角度，对于计算机来说，就是弧度。所以，不管你是否喜欢，都要对弧度制有所
了解。
??? 1 弧度约等于 57.2958 度。你也许会问“这符合逻辑吗？”确实有其逻辑所在。一个圆，
360 度，计算出的弧度为 6.2832。仍然没有任何意义？好，想一下圆周率派 Pi(π) 约等于
3.1416，而一个圆(6.2832 弧度)就等于 2 pi。我们知道 360 度相当于 2 pi，180 度相当
于 pi，90 度相当于 pi/2，等等。图 3-2 给出一些常用的弧度制。
图 3-2 弧度与角度
???? 从现在起我们就要开始使用弧度制了，而且今后会遇到很多用弧度表示度的情况。
???? 影片剪辑和 Sprite 影片的 rotation 属性都要使用角度制，而且属性非常会经常使
用。例如，一辆汽车需要旋转到运动的方向，如果使用三角学计算运动方向，那么所得到的
角度是以弧度制表示的，而汽车的旋转则需要使用角度制。相反，如果要指定某个对象向某
个方向前进，就要获得它的旋转(rotation)角度，而这是用角度制表示的，如果要在三角函
数中使用它就一定要转换为弧度制。
角度制，还应用在滤镜上，如果使用投影滤镜(drop shadow filter)，来为物体投射 45 度
的阴影，就需要指定其角度而非弧度，不论是在 Flash IED 中还是使用 ActionScript 代
码都一样。
???? 为什么在一个编程体系里有两种截然不同的制度呢？也许这就是 Flash 双重性。一方
面，这是设计人员的工具，在 Flash IDE 中拥有所有的绘图和变形工具，可以绘制出漂亮
的图形。如果你对一名设计员说把你制作的 logo 文字旋转一个弧度，你肯定会遭白眼。另
一方面，Flash 也是一个开发工具，更像一种编程语言，ActionScript 用户使用弧度制。
总之，不论你是否喜欢都要使用到它们，而且还需要掌握角度制与弧度制间的相互转换。以
下是公式：
弧度(radians) = 角度(degrees) * Math.PI /180
角度(degrees) = 弧度(radians) * 180 / Math.PI
???? 在学习本书的过程中，会遇到很多公式。无论哪里，遇到需要记忆的公式时，我都会指
出来，希望大家能够识记，这里是第一个公式。每次需要用到这些公式时，可以查找一下，
但不会得到现成的代码，? 因为这些代码都需要用手敲进去。我使用 ActionScript 写这些公
式，比如使用 Math.PI 要比使用 pi 或其它字符要好， 因为这和我们输入的代码是一致的。
???? 180 度大约等于 3.14…弧度。换句话讲，半圆为 pi 个弧度，整圆为 2 pi 个弧度，一
个弧度大概为 57.29…度。
Flash 坐标系
??? 在讨论角度时， 就要提到 Flash 坐标系。如果我们习惯于数学坐标系，那么对于 Flash
坐标系可能会有些不习惯，因为在这里一切是颠倒(upside down)的。在标准坐标系中，用
X 表示水平轴，用 Y 表示垂直轴，Flash 也是一样。当 x=0,y=0 时，坐标(0,0)通常显示在
中心位置，X 为正数时在右边，X 为负数时在左边，Y 为正数时在上边，Y 为负数时在下边，
如图 3-3 所示。
图 3-3 标准坐标系
??? 然而 Flash 是基于视频屏幕的坐标系，0,0 点为左上角，如图 3-4。X 值从左向右不断
增大，但 Y 轴是相反的，正值向下，负值向上。这个系统有其历史根源，与屏幕扫描建立图
像的原理一样，从左到右，从上到下。
图 3-4 Flash 坐标系
??? 我们可以想像成一个普通的坐标系，只是要把 Y 轴颠倒过来，并把屏幕中心迁移到屏幕
的左上角。下面就来说说角。在一般的坐标系中，角度是以逆时针计算的，并以 0 度为起点
向正 X 轴引一条线，如图 3-5 所示。
图 3-5 普通的角度
在 Flash 中是颠倒的，如图 3-6 所示。顺时针旋转角度为正角。逆时针就意味着为负角。
图 3-6 Flash 的角度
三角形的边
??? 对于三角形的边，没有太多可说的，但它们都有各自的术语。以直角三角形为例，如图
3-7 所示，每条边都有各自的名称，与 90 度角相接的两条边称为直角边(legs)，相对的边
称为斜边，它总是那个最长的边。
图 3-7 直角三角形各部分
???? 刚才说到对边时，说它是与该角不相接的边。说到邻边时，说它是与角相接的边。在很
多例子中， 都是与其余两个不是 90 度的角打交道。在三角形中最有趣的就是角与边的关系，
这些关系对于动画制作非常有用，下面就让我们来看看。
三角函数
???? ActionScript 拥有一套用于计算不同三角关系的三角函数：正弦，余弦，正切，反正
弦，反余弦和反正切。 下面我们就开始定义和使用这些函数，而后还会介绍它们的实际应用。
正弦(Sine)
???? 下面是三角学的第一个部分。一个角的正弦值等于该角的对边与斜边的比，在
ActionScript 中，使用 Math.sin(angle) 函数来表示。 3-8 所示为一个 30 度角的正弦。
?????????????????????????????????????????????????? 图
对边长为 1，斜边长为 2，两条边的比为 1 比 2，或记作 1/2 或 0.5，因此，我们可以说 30
度角的正弦值为 0.5，下面在 Flash 中测试一下：
trace(Math.sin(30));
图 3-8 角的正弦值为对边/斜边
??? 输出结果为 –0.988031624092862， 为什么会这样，能够找出原因吗？这是因为我们忘
记了将结果转换为弧度制。我敢说你以后会常犯这种错误（我也一样），所以一定要小心。
以下是正确的写法：
trace(Math.sin(30 * Math.PI / 180));
成功！输出 0.5
??? 还可能得到 0.4999… 这样的值， 这并不是程序的错误， 而是由于二进制计算机常以浮
点形式表示数值。但这个值已经非常接近了，所以就认为它等于 0.5。
可以把一个三角形想象为角度为 30，两条边长分别为 1 和 2，然后把它移到普通坐标系中，
不要忘了， Flash 坐标系的 Y 轴向下，角度是顺时针的。所以，对边和角度都是相反的.
因此，比例也变成了-1/2，我们就称它为-30 度角的正弦值。同时，把表达式改为：
trace(Math.sin(-30 * Math.PI / 180));
??? 好的，不会很痛苦吧？下面再来看一个三角函数：余弦。
余弦(Cosine)
??? 在 Flash 中，使用 Math.cos(angle) 就可以计算余弦值，余弦的定义为角的邻边与斜
边之比。
反正弦(Arcsine)和反余弦(Arccosine) ??? 与正切相似，反正弦和反余弦在一般的 Flash 动画中很少使用。然而，我们还是要学 习一下它们的用法，实际上就是正弦和余弦函数的反函数。?? 换句话讲，就是输入一个比例值， 返回一个角度值(以弧度表示)。 ??? 在 ActionScript 函数中记作 Math.asin(ratio) 和 Math.acos(ratio)。下面让来测 试一下，我们已经知道 30 度角的正弦值为 0.5，所以 0.5 的反正弦值应为 30 度，检验一下： trace(Math.asin(0.5) * 180 / Math.PI); 别忘记将结果转换为角度制，才能得到角度制 30 度，而不是弧度制 0.523。 我们知道，30 度角的余弦值大约为 0.865，下面以同样的方法来测试一下： trace(Math.acos(0.865) * 180 / Math.PI); ??? 得到结果为 30.1172947473221。 如果把 30 度的余弦值输入得更准确， 那么所得的结果 也会更为精确。怎么样，不难吧？
